CHAPITRE 1T

devient

(3) tt^H- {b — )/2ab -h 2b^) u -{- b^ -h ab — b s/'2ab -^ 2b^ = o; les deux racines de cette équation seront les valeurs de x

Si au lieu de z on cherchait x ou^, on devrait craindre de tomber sur une équation de degré plus élevé, ne fut-ce que par cette considération que xety entrant symétriquement dans les équations, le résultat de Télimination de z elj doit renfermer comme solutions les valeurs Aey, aussi bien que celles de x : et c'est ce qui arrive en effet, car on parvient aiusi à

(4) œ^ '\- iba^ -^ b'^x^ — 2.b''[a -^ b)x -\- h^{a''— b^} = o,

équation dont la discussion offrirait quelque difficulté, si Ton ne remarquait pas que son premier membre peut être décomposé en deux facteurs du second degré en x^ qui, égalés à zéro, conduisent aux équations suivantes :

(5) x^ -{-{b H- v^2«6-h2^2).r4- b^ -{-■ ab + b^^ab-h ib^^^o,

(6) ^ 4- (ô — . \J2ab '\'iib^)x-^ b^-^ab — b sjiab 4- 26' = o.

La première donne deux valeurs négatives pour x^ et ne donne par conséquent aucun nombre satisfaisant aux équations obligées de la question : on doit donc les rejeter.

La seconde est donc la seule à considérer. Elle doit donner j^ et j:, et coïncide en effet avec l'équation en m, trouvée d^abord pour le même objet. La condition de réalité de ses racines s^exprime par Tinégalité

La valeur maximum de a, quand h est donné, est donc

Si l'on donne a au-dessous, on a deux racines positives inégales. Si a esl égal à cette limite, les deux racines sont égales et le triangle est isocèle.

20. Remarque. — On peut se demander pourquoi l'on a trouvé deux valeurs de z, puisqu'il n'y en a qu'une qui convienne 5 et de même pourquoi l'équation en x est du quatrième degré, puisqu'il n'y a que deux de ses racines qui conviennent.

Avant de chercher comment ces solutions étrangères se sont introduites, il faut voir si le problème numérique et le problème géométrique sont réciproques, c'est-à-dire si chacun des deux entraîne l'autre comme conséquence. Or nous avons bien démontré que les équations (i) étaient des conséquences des conditions géométriques, mais nous n'avons pas démontré la réciproque 5 et dans l'exposition générale des méthodes, nous avons montré que dans ce cas il pouvait y avoir des solutions étrangères.

Maintenant, pour reconnaître que les équations (1) n'entraînent pas effectivement les conditions du problème géométrique , et renferment par conséquent des solutions étrangères, ce qui ne serait pas facile à voir immédiatement, suivons-en les conséquences, c'est-à-dire les équations, que nous en avons successivement déduites. Or l'équation en z obtenue par l'élimination de x et y^ est

et quand on développe le carré de a — z on a les mêmes termes que si on avait développé celui de z — a, d'où il suit que les résultats du calcul seront les mêmes que si la première des équations (i) avait été x -\-y = ^ — a au lieu d'être x -\-y = a — z. Et comme les systèmes d'équations qu'on substitue les uns aux autres sont réciproques, les équations (i) satisfont non-seulement aux conditions géo-