CHAPITRE XIV. 3l

et l'on a démontré (n*^ 235) qu'on trouve la même limite pour ce rapport, quel que soit le signe de /z, pourvu que la fonction désignée par F' (a:) soit continue par rapport à X.

257. La proposition générale exprimée par la formule (i) conduit à des conséquences importantes.

En efietj puisque le rapport variable a pour limite F' (x), il est égal à F' (x) augmenté d'une quantité, positive ou négative, dont la limite est zéro. Si on la désigne par co, on aura

ou

Cette formule permet de généraliser une proposition précédemment établie dans le cas des fonctions entières. On voit, en effet, que si F' [x) n'est pas nul, o) ayant pour limite zéro, finira par devenir et rester moindre que F' (a:), de sorte que le signe F' (x) + w restera constamment le même que celui de F' (a:) -, d'où se conclut la proposition suivante :

U accroissement d* une fonction quelconque est de même signe que celui de la variable si la déri^^ée de cette fonction est positive ', il est de signe contraire si elle est négative.

258. U résulté de la formule (2) que l'accroissement de toute fonction peut être considéré comme composé de deux parties dont l'une, F' [x) h est proportionnelle à l'accroissement de la variable indépendante, et l'autre, htù^ est infiniment petite par rapport à la première. On pourra donc, dans toutes les questions qui ne dépendront que des limites de rapports ou de sommes d'infiniment petits de même ordre

3l6 ÉTUDE DES COURBES.

que ces accroisseDients, négliger la partie /zct), et remplacer F {x-h h) — F (x) par F' (x) /?, sans qu'il en résulte aucune erreur dans les équations obtenues en passant aux limites.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Toute fonction peut être considérée comme croissant uniformément en même temps que la variable indépendante, pourvu que ce soit dans un intervalle infiniment petit.

Et, par conséquent, si on partage un intervalle uni quelconque en intervalles infiniment petits, Taccroissement fini de la fonction pourra être considéré comme composé d'une suite d'accroissements infiniment petits, variant tous uniformément dans leurs intervalles respectifs, avec des coeflScients différents, qui sont les valeursF'( x) correspondantes aux commencements de ces intervalles.

On voit ainsi comment par la considération des infiniment petits, les variations les plus complexes sont rame~ nées à des variations uniformes ; ce qui est le plus grand degré de simplicité qu'on puisse désirer.

Dans bien des circonstances on donne le nom de coefficient à la constan te parlaquelleil faut multiplier les accroissements d'une variable indépendante, pour obtenir ceux d'une fonction qui varie uniformément entre certaines limites. Il serait donc naturel de donner celte dénomination à la quantité constante F' [x) par laquelle il faut multiplier h pour avoir l'accroissement de F (x), entre des limites infiniment pe li les. 4fous pensons donc qu'on pourrait appeler la dérivée le coefficient d^ accroissement de la fonction. On l'a désignée quelquefois sous le nom de coefficient différentiel de la fonction ; la dénomination que nous proposons nous parait indiquer d'une manière plus nette le rôle qu'elle joue dans l'expression de l'accroissement de la fonction.