Si Ton considère la courbe ayant pour équation

l'accroîssement infiniment petit de l'ordonnée correspondant à raccroissement h de Fabscisse, sera considéré comme étant F' (x) A, qui est raccroissement de l'ordonnée de la tangente au point dont Tabscisse est x. Ce sera donc remplacer la courbe par sa tangente dans un intervalle infiniment petit, et substituer ainsi une variation uniforme à la variation compliquée de Vordonnée,

260. Dérii^ées des aires des courbes planes. — En considérant d'abord une courbe rapportée à des axes rectangulaires, et l'aire comprise entre une ordonnée fixe et Fordonnée variable correspondante à Fabscisse jr, Faccroissement que prendra cette aire quand x prendra un accroissement infiniment petit A, ne différera du rectangle construit sur h et sur Fordonnée que d'une quantité infiniment petite par rapport à cet accroissement : cela a été démontré précédemment^ d'où il résulte que la limite du rapport de l'accroissement de Faire à h sera Fordonnée même F (x).

On pourra donc prendre F (x) h comme l'accroissement de Faire, dans un intervalle infiniment petit.

En coordonnées polaires, l'accroissement de Faire décrite par le rayon vecteur r, et correspondant a un accroissement h de Fangle, ne diffère du secteur circulaire dont l'angle au centre serait A, que d'une quantité infiniment petite par rapport à ce secteur. La limite du rapport des accroissements, ou la dérivée de Faire par rapport à Fangle, sera

donc égale à —

3l8 ÉTUDE DES COURBES.

Il en résulte que^ h restant infiniment petit, Taccroisse-

ment de Taire peut être représenté par l'expression — h dont la variation est uniforme.