CHAPITRE II

métriques du problème, mais encore à celles d^un autre problème de nombres, qui peut même ne correspondre à aucun problème de Géométrie.

Il n'y avait donc pas réciprocité enfre le problème géométrique proposé et le problème de nombres qu'on lui a substitué. Si on avait substitué la seconde valeur de z dans l'équation en u, on aurait eu au lieu de l'équation (3) une autre équation qui n'aurait été autre que l'équation (5), puisque l'équation (4) doit donner toutes les valeurs de a: qui conviennent aux équations (i). Et c'est ce qu'on reconnaît immédiatement.

21. Par deux points donnés faire passer un cercle tangent à un cercle donné.

Soient A et B (Jïg* 5) les deux points donnés, D leur

Fig. 5.

milieu, C le centre du cercle donné, r son rayon 5 CE, CF, perpendiculaire et parallèle à AB. Posons

AB = 2 fl, DE = b^ CE = c.

Le centre O du cercle cherché sera sur la perpendiculaire élevée en D sur AB 5 désignons par x sa distance au point D, et soit H le point de contact.

Les deux cercles pouvant être tangents extérieurement ou intérieurement, on aura

CO = OBdir ou sl[x — c)-" -{- b^ = ^ x^ -^ a^^i r. Elevant les deux membres au carré, il vient

38 SCIENCE DE l'étendue.

Isolant le radical et élevant au carré, on obtient, en posant i* -f- c* — a' — r* = 2 m%

(i) (^'— ''^) x^— ^m^cjc -4-m* — a^ r^ = 0.

Et comme il ne reste aucune trace du double signe, les deux racines de cette équation se rapporteront aux deux cas possibles du contact.

Examinons maintenant les changements qu'introduirait dans les calculs une disposition différente des points de la figure.

Si le centre inconnu O se trouvait au-dessous de F, le côté OF du triangle COF serait exprimé par c — j: au lieu de X — c; mais après le développement du carré, les termes présenteraient la même forme, et il n'en résulterait aucun changement dans les calculs* Mais si O devait se trouver d'un autre côté de la ligne AB que C, le côté OF s'exprimerait par la somme x H- c au lieu de la différence, et le calcul conduirait, non plus à l'équation (i), mais à la suivante:

(2) (c' — r^) jj^ H- 2 M^ ex -\- m^ — a' r^ = o,

dont les deux racines sont au signe près les mêmes que celles de l'équation (i).

La cohdition de réalité des racines de ces équations est la même ; elle est exprimée par l'inégalité

Quant aux signes de ces racines, ils dépendent de ceux de m* — a' /•* et de c* — r*.

Remarque, — L'équation (i) donnant la position du neutre O quand il est du même côté de AB que C, et l'équation (2), quand il est de l'autre côté ; et de plus les racines de ces deux équations étant les mêmes au signe près, il s'ensuit que si la première a ses deux racines négatives, ce qui ne résout pas la question puisqu'elles annoncent que les con-