PAR LEURS TANGENTES

269. Dans ce qui précède, nous avons supposé que tous les points d'une courbe étaient donnés, soit par une équation, soit par un mode quelconque de génération , et nous nous proposions de trouver la tangente en un quelconque de ses points. On pourrait réciproquement se donner Téquation générale, ou un mode de génération de toutes les tangentes à une courbe inconnue, et se proposer de déterminer le point de la courbe qui se trouve sur une quelconque de ces tangentes. Ce problème inverse se résoudra au moyen de la proposition suivante :

Le point de contact d'aune tangente à une courbe quelconque, est la limite de son point de rencontre avec une tangente infiniment ^voisine.

Pour le prouver, soit TMT' {fig^ 6i) une tangente fixe,

M son point de contact. M' un point de la courbe infiniment voisin de M, UM' la tangente en M', et I son point de rencontre avec T'T. La corde MM' tend vers zéro lorsque M' tend vers sa limite M, et c'est le plus grand côté du triangle MIM'5 car, d'après la définition delà tangente, la

sécante MM', tendant vers zéro, fait avec la tangente en M ou M' un angle dont la limite est zéro; Tangle I, opposé à MM', tend donc vers deux droits*, et le côté MM', opposé au plus grand angle, est le plus grand du triangle. La distance IM, plus petite que MM', tend donc vers zéro, et par conséquent le point fixe M est la limite du point de rencontre I de la tangente en M avec une tangente infiniment voisine.

De là résulte la solution du problème qui consiste à déduire tous les points d'une courbe de la connaissance de ses tangentes. Pour cela on considérera l'une quelconque de ces dernières, et l'on cherchera sa rencontre avec une tangente voisine, d'après les équations connues de ces lignes, ou d'après la loi donnée de leur construction : on déterminera la limite de ce point lorsque la seconde tangente s'approche indéfiniment de la première ] on connaîtra ainsi le point de la courbe qui se trouve sur une tangente quelconque : le problème revient alors à une recherche ordinaire de lieu géométrique.

Obserifation, — Il est bien certain que, si l'on admet qu'il y ait une courbe tangente au système des lignes données, on la trouvera par le procédé que nous venons d'indiquer. Mais si l'existence de cette courbe n'était pas admise, il est facile de reconnaître que celle que l'on obtient ainsi sera effectivement tangente à toutes les droites du système qui auront des points communs avec elle. En effet, considérons deux de ces droites telles que, dans le passage continu de l'une à l'autre, chacune rencontre toujours celle qui suit, et faisons passer une courbe par tous les points de rencontre successifs de chacune d'elles et de celle qui la suit, ce qui peut se faire d'une infinité de manières. Chaque droite sera coupée par celle qui la précède et par celle qui la suit, en deux points qui seront d'autant plus près du lieu de limite, que les droites sont plus voisines*, la distance de ces deux points

OU la corde interceptée par la droite dans la courbe variable peut donc devenir moindre que toute grandeur donnée 5 et, par conséquent, les droites du système sont aussi près qu'on voudra d'être tangentes à la courbe variable. Donc, enfin, la limite de cette dernière, ou le lieu des points limites, est tangent à toutes les droites.

270. Cette proposition est un ras particulier d'une plus générale dont nous ne nous occuperons pas en ce moment. Nous nous bornerons à faire remarquer, en passant, que les centres de courbure étant les limites des points de rencontre des normales successives, ces droites sont tangentes au lieu des centres de courbure.

Nous allons maintenant donner quelques exemples de la détermination des courbes par leurs tangentes.

271. On donne deux points Jixes B, C {fig^ 62) sur deux droites indéfinies AX, AY. Une droite MN se meut

Fig. 62.

de manière que Von ait constamment la proportion BM : MA : : AN : NC. Trower la courbe à laquelle elle est constamment tangente.

Pour cela on cherchera :

1® La limite du point de rencontre d'une quelconque de ces droites avec les droites infiniment voisines;

2° Le lieu de ces points limites, pour toutes les positions deMN.

1® Soient

AC = «, AB = ^, AN = tt, AM=ip,

on aura, pour toutes les positions de MN,

b — P\v\\ u\a — iiy d*où av -\-bu=: ah,

et pour la position M'N', on aura

a [v — M'M) -t- ^ (« -h NN') = ah ; d'où résulte

^.NN' — aM'M=:o, ou î^— -,