CHAPITRE II

ditions ne sont remplies par aucun nombre, la seconde les aura positives et de même grandeur, respectivement ^ elles fourniront donc deux positions du côté de C, et qui seraient les mêmes que si les valeurs négatives de x données par (i) étaient portées en sens contraire de celui qu^on avait supposé quand on est parvenu à cette équation. Si les racines (i) sont Tune positive, l'autre négative, la première construit un point du même côté que C : la seconde ne résout pas la question, mais elle apprend que l'équation (2) a une racine positive de même grandeur, qui indique de l'autre côté de C le centre d'un cercle satisfaisant à la question: et ce même centre s'obtiendrait en portant la racine négative de (i) en sens contraire de celui qu'on avait supposé.

Concluons de là que l'équation (i) suffira à tous les cas, à la condition que les valeurs positives de x seront portées du même côté que C, et les valeurs négatives, du côté opposé.

Celte conclusion n'est légitime que par la comparaison que nous avons faite des racines des deux équations qui se rapportent aux deux cas, et non parl'analogie vague que Ton poiu^rait apercevoir entre l'opposition des signes et l'opposition des directions. Cette comparaison pourrait être beaucoup plus pénible dans des cas plus compliqués. Nous allons en donner d'autres exemples, qui suffiront avec celui-ci pour faire désirer des méthodes générales, qui permettent de renfermer dans un calcul unique toutes les variétés qu'une même question géométrique peut présenter.

22. Par un point donné faire passer un cercle tangent à deux cercles donnés.

Dans ce cas on n'aperçoit aucune droite sur laquelle doive se trouver le centre du cercle cherché, et il faudra deux quanti tés pour le déterminer, par exemple ses distances à deux droites connues.

4o SCIENCE DE l'ÉTEIVDUE.

Soient A et B {fig» 6) les centres des deux cercles donnés 5 r, r' leurs rayons 5 C le point donné, O le centre du cercle cherché, et z son rayon.

Si nous concevons la perpendiculaire OP sur AB, le point O sera déterminé par les longueurs OP, AP qui sont ses distances à la droite AB, et sa perpendiculaire AY. Posons

AB=:flr, AP = a:, 0P=:^, AQ = a, CQ = 6;

il s'agit de trouver deux équations entre les inconnues x et y. En supposant le cercle O extérieur aux deux autres, les conditions géométriques conduiront aux équations suivantes :

(i) AO — r=3, BO—r' = Zy CO=:z,

qui par Télimination de z conduisent aux deux suivantes :

AO — r =: BO — r', AO — r= CO.

La figure donne immédiatement pour AO, BO, CO les expressions suivantes :

AO = sjx^ -4- y' , BO = slf -+-(« — ^)S

mais pour une autre disposition des points la forme des expressions serait différente. Si par exemple le point P tombait à gauche de A , BP serait exprimé par a -h x au