CHAPITRE XVI

284. Forme particulière des équations des deux lieux^ — L'équation proposée étant

il est souvent avantageux de prendre pour les équations des deux lieux

(2) jrz=:F(x), y = o.

La première construit une courbe dont les points d'intersection avec Taxe des :t: ont pour abscisses les racines réelles de la proposée.

En nous bornant au cas où Ton a

la courbe (2) s^étend d'une manière continue depuis X = — QO jusqu'à x" = 00 ; et à chaque abscisse il ne correspond qu'une seule ordonnée.

La considération de cette courbe a conduit Fourier à des procédés très-ingénieux pour la séparation ou l'approximation des racines réelles. On pourrait sans doute se passer de ces secours de la géométrie, mais ils font souvent découvrir, à la seule inspection de la figure, des rapports qu'on aurait difficilement aperçus en restant dans l'abstraction pure.

Ainsi, par exemple, la simple vue de la courbe (a) montrant qu'entre deux points consécutifs de rencontre avec Taxe des x, l'ordonnée part de zéro pour revenir d'une manière continue à zéro, on conclut facilement qu*elle passe par une valeur absolue plus grande que toutes les autres ; que, par conséquent, si on mène une parallèle à l'axe des X par l'extrémité de cette ordonnée, la partie de la courbe que l'on considère est tout entière comprise entre l'axe des X et cette parallèle qui, par conséquent, lui est tangente. On conclut de là qu'en ce point on a F'(a:) = o,

puisque F'(x) est la tangente trîgonoméirîque de rinclînaison de la tangente. Or cette conséquence n'est autre chose que le théorème de Rolle qui s'énonce ainsi :

Entre deux racines réelles consécutives d^une équationy il y a toujours une racine réelle de sa déri\^ée. — Je n'entrerai pas dans plus de détails à ce sujet, et je me bornerai à recommander l'étude des ouvrages spéciaux, surtout de ceux de Fourier.

285. Démontrons maintenant un théorème général, dont les applications sont innombrables, et qui peut s'énoncer ainsi :

Soit F ( a:) une fonction quelconque, continue entre a: = a Qlx =b^b étant la plus grande des deux limites. Si l'on partage l'intervalle b — a en subdivisions h qui décroissent indéGniment suivant une loi quelconque, puis que l'on multiplie chacune des valeurs de F(a:) correspondantes par la subdivision qui la précède ou par celle qui la suit :

1° La somme de ces produits, ou, d'après une notation

déjà employée» \^ F (x)/i, tend vers une limite unique.

quelle que soit la loi des subdivisions \

2° Cette limite, considérée comme fonction de i, a pour dérivée F(&); et considérée comme fonction de a, elle a pour dérivée — F ( a ) .

^ La vérité de ces diverses propositions s'aperçoit immédiatement en considérant la courbe qui a pour équation

et qui est continue entre les abscisses a elb.

En effet, les produits indéfiniment décroissants dont il s'agit, seront la mesure de rectangles ayant pour bases les subdivisions de b — a, et pour hauteurs les ordonnées