CHAPITRE XVI

correspondantes de la courbe. Or nous avons démontré dans la géométrie que la somme de ces produits a pour limite Taire comprise entre Taxe des x, les ordonnées extrêmes et Tare de la courbe, quelle que soit la loi des subdivisions de b — a, pourvu qu'elles décroissent toutes indéfiniment. La première partie du théorème est donc démontrée.

Si maintenant on considère la plus petite limite a comme constante, et h comme variable, et qu'on fasse croître b d*une quantité infiniment petite A, Taccroissement de l'aire sera comprise entre deux rectangles dont le rapporta pour limite i; la limite du rapport de l'accroissement de Taire à h est donc la même que de Tun quelconque de ces rectangles à h] elle est donc F(&), comme il fallait le démontrer.

Enfin, si on regarde b comme constant et a comme variable, T accroissement de Taire sera négatif, et par les mêmes raisonnements on trouvera — F(^') pour limite du rapport de Taccroissement de Tajre à celui de a : ce qui démontre la dernière partie du théorème.

286. application de la géométrie à la détermination de la limite de la somme

Cette limite très-importante peut être obtenue par des considérations purement algébriques ; mais la géométrie en facilite beaucoup la recherche.

Nous ne la considérerons pas comme mesurant Taire de la courbe dont Téquation serait

35o ÉTUDE DES COURBES.

mais comme servant à mesurer le volume compris entre le plan des x et y^ et la surface de révolution ayant pour équation

On remarquera pour cela que, si ou conçoit les limites des deux sommes identiques

et qu'on les multiplie, on aura la limite du produit de ces deux sommes. Or les produits des éléments qui les composent, mesurent des parallélépipèdes qui peuvent être considérés comme les éléments du volume indéfini dans tous les sens, qui est compris entre le plan YX et la surface ayant pour équation

Le produit des limites des deux sommes, ou le carré de la quantité cherchée, est donc la mesure de ce volume, et, par conséquent, c'est à cette dernière recherche que la question est ramenée.

Or la forme de la surface qui le termine permet une décomposition plus commode que la première ; et c'est en cela que consistera l'avantage que procurera la géométrie.

Le plus ordinairement on décompose le solide de révolution qu'on veut mesurer, par des plans infiniment voisins, perpendiculaires à son axe 5 mais on peut aussi le décomposer par des surfaces cylindriques infiniment voisines, ayant même axe de révolution que le solide^ et c'est ce dernier mode qui sera le plus avantageux dans la question actuelle.

En effet, si on désigne par r et r -|- A les rayons de deux de ces surfaces, le volume compris entre elles aura pour

mesure ^nrhe"' , en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à celle-ci.