CHAPITRE II. 4l

lieu de a — x, et l'expression deBO serait changée, même après le développement du carré. Si O n'est pas du même côté de AY que C, l'expression de OC changera, et (a — x)* y sera remplacé par (a -f- xY qui est de forme différente. De même (S — y)* serait remplacé par (S-f-j^)' siOetC étaient de côtés différents de AB : et les deux changements devraient être faits à la fois, si O et C étaient de côtés différents de chacun des deux axes sur lesquels on porte les AiS" tances OTjj^. On voit donc combien de combinaisons différentes peuvent donner les diverses positions possibles du point inconnu *, et Ton conçoit combien il serait utile de trouver le moyen de renfermer tous les calculs auxquels elles peuvent donner lieu, dans un seul d'où ils pourraient tous être déduits.

Mais il y a encore d'autres formes à considérer dans le calcul, d'après la manière dont le cercle cherché doit toucher les deux autres. Le contact avec chacun d'eux peut avoir lieu extérieurement ou intérieurement, ce qui donne génér ralement quatre combinaisons : et il faut reconnaître les changements qui en résulteront dans les équations.

Si le cercle cherché renferme les deux autres, les équations (i) se changent dans celles-ci :

(2) kO-{-r=iz, BO -}-/•' = 2, CÔ = 3.

Si lun des cercles donnés est extérieur, et l'autre intérieur au cercle cherché, les équations deviennent

(3) kO-\-r=zz, BO — r'=:3, COr=:z, ou

(4) AO— r=rz, BO + r'^rz, CO = z.

Tels sont tous les cas qu'il faut considérer si l'on veut la solution complète du problèihe, sans compter les variétés qui résulteraient de la position relative des deux cercles, qui peuvent être totalement ou partiellement intérieurs l'un à l'autre.

4 2 SCIENCE DE l'étendue.

23. Indiquons maintenant le calcul dans l'hypothèse des équations (i) et des eicpressions que nous avons prises pour AO, BO, CO. Nous aurons d'abord les équations

^x» -f- y^—rz= v^(6 — xY ^ (a — x)\

La seconde donne, en élevant ses deux membres au carré,

la première donne, en faisant passer r' dans le premier membre et élevant au carré,

(5) 2iïx-4-(r— r')« — a» = 2(r— r') v^x»^~7^

D'où, en éliminant yjx^ ~i~jr* entre ces deux équations,

( €(r— r')j+(ar-.ar' — iir)x

Cette équation jointe à l'équation (5) donnera x et j^« L'élimination de j* conduira à une équation du second degré en x. A chacune de ses racines correspondra une seule valeur àey que donnera l'équation (6), et l'on n'aura que deux systèmes de valeurs de x, y. Si ces valeurs sont réelles et positives, les conditions exprimées ne renferment aucune impossibilité.

Voyons maintenant à quoi correspondent ces deux systèmes. Remarquons pour cela que si nous avions pris les équations (2) au lieu de (1), tous les calculs n^auraient différé des premiers que par le changement de signe de r et r'. L'équation (6) aurait donc été obtenue, ainsi que l'équation (5), après son élévation au carré*, et l'on aurait retrouvé {es deux mêmes systèmes de valeurs de a: et y : d'où il suit que l'un des deux correspond au cas où le cercle