Si Ton fait le produit de deux expressions de la

forme cosa -h ^ — i sin a et cosb h- ^ — i sini, a et 5 désignant des arcs quelconques positifs ou négatifs, et les

opérations sur ^ — i s'effectuant comme nous savons, on, trouve pour résultat

cosa cosb — sin a sin b -h v^—; i (sina cos b -h sin b cosa),

dont la partie réelle est cos (a + &); et la partie imaginaire

^ — 1 sin (a ■+• b).

On peut donc écrire la formule générale

(cosa •+- ^ — I sina) ( cos b -h ^ — i sin ô )

= cos(/i -h ^) -h v'— I sin (a H- b)y

puisque nous venons de reconnaître que les parties réelles des deux membres étaient identiques, ainsi que les parties

imaginaires; et nous n'aurions pas pu Técrire sans cela, puisque nous avons posé en principe qu'on n'écrivait jamais une équation A -f- B y/ — i = A' -4- B' \f—~ï qu'après avoir reconnu qu'on avait A = A' et B = B'.

Si maintenant on niultiplie le produit obtenu par un

troisième facteur semblable cosc-f-y — i sin c, on aura pour produit une expression de même forme, dans laquelle l'arc sera la somme des deux arcs a -h i et c, de sorte que l'on peut écrire cette nouvelle formule

(cosflUrv' — I sina) (cos6-|- ^ — i sinb) (cosc -|-\/ — isioc) == ces {a '{' b -h c) -\- ^ — I sin (rt -h ô -h c),

parce quHl est démontré d'avance que la partie réelle est la même que dans les deux membres, ainsi que la partie Imaginaire. Et il est indifférent de quelle manière on eifecluera le produit des facteurs binômes du premier membre, et qu'on réduise les termes réels en cos (a-h J) ou qu'on les laisse tels que la multiplication les donne, c'est-à-dire sous la forme cos a cos b — sin a sin & ^ et de même pour

les termes imaginaires. Le nombre des facteurs sj — i qui entreront dans les termes du produit définitif sera toujours le même*, ces termes seront donc les mêmes: il pourra seulement y avoir avantage à les grouper d'une certaine manière^ qui permettra des réductions ou transformations propres à donner une forme plus simple au résultat.

En reproduisant des calculs analogues sur un nombre quefconque de binômes de même forme, on obtiendra la formule suivante, dans laquelle il est démontré d'avance' que, de quelque manière qu'on effectue les multiplications, les parties réelles sont les mêmes, ainsi que les parties imaginaires,

( (cosn -h \/ — isina) (cosi'.-4- ^ — i sin ^)... (cos/» -h ^ — i sinp).