CHAPITRE XVII

Et il est inutile de considérer à part les expressions de la

forme cosa — yr— 1 sin a, puisqu'elles sont comprises dans

les premières, en les écrivant ainsi :

cos ( — a )-f- >j — I sin ( — «),

et comme Téquation (i) donnera

(cosrt 4-^ — isinrt) [cos( — a) 4- ^'— i sin ( — a)\ = cos o -+- \/ — I sino = I ,

il s'ensuit

cos a — ^ — i sin /i =

a -^sj —

cos« -H V — I smtf

291. Tout cela est évident et incontestable; mais on peut se demander à quoi peuvent servir ces fictions de calculs qui ne semblent qu'un amusement bizarre, qui n'offre de remarquable que la simplicité du résultat comparée à la multitude des matériaux qu'il a fallu combiner. N'y a-t-il autre chose que dans ces jeux d'enfants où, avec un grand nombre de pièces de toutes formes, on parvient à construire des figures qui surprennent par leur élégance et leur régularité? A ces questions, qu'il semble naturel de s'adresser, il faut une réponse nette et précise.

L'avantage que Ton peut retirer de la formule (i) consiste en ce qu'elle fait connaître le développement du cosinus et du sinus de la somme d'un nombre quelconque d'arcs positifs ou négatifs par la multiplication d'un égal nombre de binômes. Or un produit de ce genre est soumis à des lois simples qui permettent de le former plus facilement que les développements du sinus et du cosinus de la somme d'un nombre quelconque d'arcs. Ainsi, en désignant par m le nombre de ces arcs, le groupe général du produit s'obtiendra en faisant toutes les combinaisons nk n des seconds termes des binômes, et multipliant chacune

36o ÉTUDE DES COURBES.

d'elles par les m — n premiers termes des autres binômes. Le calcul des termes est donc ramené d'une manière régulière à la simple théorie des combinaisons. Ceux qui renfermeront un nombre pair des seconds termes seront réels et constitueront le développement de cos {a + i -f-c . »-\-p) ;

le coeflScient de ^ — i, dans les autres, constituera celui de sin (a-\- b -j-c, , , -\-p)» Tel est donc l'avantage de la remarque qui a conduit à la formule (i)) et qui pouvait paraître d'abord tout à fait dénuée d'intérêt scienti fique. Elle conduit à deux formes différentes d'une même chose, et la transformation qu'elle fournit est d'une notable utilité.

Pour rendre cette utilité bien évidente, appliquons la formule (i) au cas très * particulier où tous les arcs a, &, c, . . . p seraient égaux ^ elle devient alors

(2) (cos a -f-^ — I sinap=: cos ma -+- ^ — i sin ma.

Or, dans le cas de binômes égaux, le produit s'exprime par une formule très-simple, et le terme général sera

— ^^ ^ cos'"~"asm'*a{ V— ' j •

On aura donc, en égalant la partie réelle à cos ma el le coefficient de ^ — i à sin ma,

^ ot(/w— i) ^ , . ,

cos ma = cos" a — ^ cos"*""* « sm' a

H ^ '-^ — 7^ cos'^^asm^û — ... ,

mim — i)(m — 2)

siD/wfl = /iîcos'^'asina ^^ -^ ^cos'"-'flsm^a -f-...,

formules auxquelles on pourrait parvenir par des procédés différents, mais moins simples.

Le dernier terme de chacun de ces développements