CHAPITRE XVIt

varie suivant que m est pair ou Impair^ nous laissons de côté ces détails.

On voit avec quelle facilité les formules générales des sinus et cosinus des multiples d'un arc se déduisent d'une remarque qui pouvait sembler puérile, mais dont TefTet a été de présenter une même chose sous deux formes trèsdifférentes. Or la transformation des expressions est une des plus grandes ressources de l'analyse.

292. La formule (2) n'est encore démontrée que pour m entier et positif. L'avantage que nous en avons déjà tiré doit faire penser qu'on en trouverait d'autres encore si on pouvait la généraliser.

Or on reconnaît immédiatement que, puisqu'en multipliant l'arc par un nombre entier, on élève cosa^ — i sina à la puissance m; si on divisait a par un entier n^ l'ex*

pression cos — h ^ — 1 sin - serait une racine n**"** de

cosa-hy/ — isina. Car la formule (2), s'appliquant à

tous les arcs, s'applique à -» et par conséquent la puissance

I, ^ fj .

n de cos — h v — » sin -- est cos a -f- J — 1 sina, n ^ n ^

Maintenant la puissance p de cette racine w'^"»* s'obtiendra en multipliant l'arc - par p ; donc la puissance p d'une

racine /i**"^ de cos a -\- \j — i sina ou une puissance - de

ce binôme s'obtient en multipliant l'arc a par -• La formule (2) a donc lieu pour toutes les valeurs positives de m.

Elle a encore lieu si m est négatif. Car soit m = — n, n étant positif. En entendant toujours les exposants néga-

tifs comme précédemment, on aura (cosa -+- y/ — I sina)*"

(cos«-f-y/ — isin«)" ces na -f- ^— i sîn na = cosna — y'' — i sin/za =rcos( — na) -+■ ^ — i sin ( — na) = cos ma -h ^ — I sin ma,

ce qui prouve que la formule (a) est vraie pour tous les nombres négatifs, et par conséquent pour toutes les valeurs réelles de m.

Cette importante formule, dont nous allons faire quelques applications, a été découverte parMoîvre, et le nom de ce célèbre géomètre y est resté attaché. Elle abaisse d'un degré les opérations de multiplication, division, élévation aux puissances et extraction de racines sur les expressions

de la forme cos a 4- y/ — i sin a ^ propriétés analogues à celles des exponentielles.

293. application des mêmes formules au dés^eloppement de cos"* a: et de sin*" j?.

La question que nous nous proposons est de développer une puissance entière et positive du sinus et du cosinus d'un arc quelconque, au moyen des premières puissances des sinus et cosinus des multiples de cet arc.

Occupons-nous d'abord du cosinus.

L'artifice qui conduit le plus simplement à l'expression cherchée consiste à remplacer cos a: par la demi-somme

des binômes cosa:-+- y/ — i sin a: et cos a: — y— ï sin or, ou, ce qui est la même chose, de remplacer 2 cos x par

(i) (cosd? H- ^ — 1 sïnx) r+- (cos^ — ^ — I sinj:),

qui n'est autre chose que (2) 2 cos a: -i- y — I (sinjc — sin:r),

c'est-à-dire identiquement 2 cosx.