CHAPITRE XVII

Voyons maintenant les avantages que peut offrir l'expression (i) pour l'objet que nous avons en vue, qui est d'avoir la puissance m'*"*' de cos a: ou de a cos x au moyen des sinus ou cosinus des multiples de x. Or il est évident que si on développe la puissance m du binôme (i) suivant la formule ordinaire, les termes se composeront du produit d'une puissance du premier terme de (i) par une puissance du second; et par la formule précédente ces puissances s'exprimeront par les cosinus et sinus des multiples de X, De plus, il ne subsistera jamais que la puissance de l'un des deux termes de (i), parce que le produit des deux l'un par l'autre est l'unité. U résulte de là que chaque terme de la puissance m de (i) renfermera au premier d^ré seulement les sinus et cosinus des multiples de x« Et comme deux termes à égale distance des extrêmes dans le produit ont le même coefficient et seront en x de la

forme cos;?a?-t- \j — i sinpx et cospx — ^ — i sinpx^ leur somme se réduira à a cos px multiplié par ce coefficient, et le problème sera résolu.

La forme (i) est plus avantageuse que (3), par les raisons que nous venons de donner ; mais cette dernière donnerait évidemment les mêmes termes que l'autre, si on s'interdisait dans l'une et Tautre les réductions, et qu'on développât les puissances de sin x — sin x qui sont toutes nulles, et dont par conséquent on est maître de conserver celles qu'on voudra, par exemple celles de degré pair seulement, où la puisance de ^' — i est réelle. En groupant convenablement les termes qui en proviennent, et qui s'ajoutent à 2'" cos'^j:, qui est toujours le résultat définitif, on peut obtenir une multitude de formes nouvelles, et retrouver péniblement les cosinus des multiples de x, comme on les a trouvés d'après la formule (i) où les groupements utiles se trouvent tout faits, parce les puissances

qui y sont indiquées de cosx ± \'—i sin.r se rëduiseni, au moyen de la formule de Moivre, à des sinus et cosinus des multiples. C^est là tout le secret de ces transformations qui causent au premier abord quelque surprise, mais qui n'ont rien de mystérieux pour ceux qui veulent simplement se rendre compte de ce qu'ils font.

294. On développera semblablement sin'^o: en observant que l'on a

2 ^ — I sinj:= (cosa: -\- ^ — i sinx) — (cos:r — ^ — i sinor).

En développant la puissance m de ce binôme, le résultat sera identique à a"* (^ — i)"* sin"*j:, qui sera réel si m est

pair et renfermera le facteur ^ — i si m est impair. Ce dé-

* veloppement présentera les termes en sinx et cosx, groupés de manière à se réduire immédiatement par la formule de Moivre à des sinus ou cosinus des multiples de x. Et c'est encore ce groupement avantageux que l'introduction des imaginaires dans sinx était destinée à produire. Il ne faut pas y voir autre chose.

Les formules auxquelles conduisent ces transformations, dont nous avions surtout pour objet de faire connaître l'esprit, sont les suivantes :

rx"-' cos'"j: = cos mx + m cos {m — 2) «

^ î cos (m — 4)^ 4- • ' •;

le dernier terme est, dans le cas de m pair,

GHÀPITBE XVII. 365

el, dans le cas de m impair,

Dans le cas de m pair, on a pour sin'^x la formule

2*~*( — i) sin^jT = 008/1»? — m cos (i7i — 2)j?-f-...

mim — i). - . l hi I

le signe H- du dernier terme correspondant à — pair, et le signe — à — impair; et pour le cas de m impair

m — I 2*^« ( — i) sin^j: = sinmx — m sinfm — 2)x 4- . . .

^ — smj?;

le signe -h correspondant à pair , et le signe — à

impair.

295. Application de formules précédentes au développement de sînx et cosx.

L'objet que nous nous proposons est de développer le sinus et le cosinus d'un arc quelconque, suivant les puissances de cet arc. Occupons-nous d'abord du cosinus, et rappelons la formule suivante qui a lieu quel que soit a, et

quel que soit le nombre entier m :

mim — i) cos ma =1 cos'^a — cos'"~*a sin^a -4- . . .

le nombre des termes du second membre est si m

est impair, et — -h i si m est pair; et les coefficients de ces

termes sont composés de facteurs qui sont tous plus grands que zéro. Cela posé, si l'on fait ma = x, et qu'on élimine m du second membre, on obtient

cos X = cos

** a î i ^ ^ tang*«. . .

d=— ^ ^- ^^ ^ tang»"a=p... U

et tous les facteurs des coefficients sont encore plus grands que zéro puisqu'ils n'ont pas changé de valeurs. Ce développement peut s'écrire ainsi

- i ,T{x — a) /tangflX»

cosar = cos a\\ ( — ^— ) -f- . • •

x[x — a),.,\x — (2/2 — i)fl] /tang^Y"* )

Supposons maintenant que x restant constant, on fasse diminuer a indéfiniment, ce qui aura lieu par Taugmentation indéfinie du nombre entier m : la formule (2) subsistera toujours, et quelle que soit la fraction de x que l'on prenne pour a, pourvu que a soit contenu un nombre entier de fois dans x, le développement aura une valeur constante et sera toujours égal à cosx quel que soit l'arc x.