CHAPITRE XVII

Il résulte de là que si Ton cherche la limite du facteur

variable cos^a et de l'autre facteur variable qui est le développement entre les parenthèses, lorsque l'on fera converger a vers la limite zéro, le produit de ces limites sera égal à la valeur constante du produit des deux facteurs variables, et sera par conséquent le développement de cos x.

Nous allons considérer d'abord le facteur cos^'a, ou cos"*~ qui est la puissance m*""' d'une quantité qui a pour limite l'unité. Mais ce serait fort mal raisonner que de porter d'abord cos — à sa limite 1 , et d'élever cette limite à la puissance de degré m indéfiniment croissant. La variable m doit être considérée avec la même valeur dans toutes les parties de l'expression \ et dans le cas actuel, par exemple, il n'est pas permis de laisser m constant

m que grand que soit m, ses puissances le seront aussi, de

sorte que cos'" — sera toujours inférieur à l'unité, et que

par conséquent sa limite ne peut être supérieure à l'unité.

En remplaçant cos — par (i — sin'-^j » il s'agira de

trouver la limite de ( i — sin* — ] > et nous allons prouver qu'elle est précisément l'unité. C'est ce qui sera évident

si nous prouvons que la quantité plus petite ( i — '—\ a

dans l'exposant et de le faire varier dans cos — • On voit

d'abord que cos — étant toujours moindre que l'unité quel-

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Tunité pour limite. Or on peut développer cette dernière par la formule du binôme, puisqu'on a — < i ? et la série

sera même très-convergente puisque — a zéro pour H «ni te. Ce développement sera

Dans cette série convergente, dans laquelle on fait tendre une certaine quantité vers une limite, on peut, pour avoir la limite vers laquelle tend sa somme, remplacer chaque terme par sa limite, et faire la somme de la série résultante. Dans le cas actuel chaque terme, excepté le premier,

tend vers zéro, en même temps que -— puisqu'il y a toujours deux fois plus de facteurs du premier degré en m au dénominateur quW numérateur; la limite de la série est donc I , et par conséquent on a

lim cos^ a r= I = lim cos* — •

Il ne reste donc plus qu'à trouver la limite du second facteur du second membre de l'équation (2)5 elle sera identique avec cos x.

Ce facteur est composé d'un nombre fini de ternies puisque m est entier 5 mais la condition de convergence des séries est remplie par ces termes , de sorte qu'il n'y a pas à s'inquiéter de leur nombre croissant, et on peut prendre un nombre fini de ces termes, à partir du premier, assez grand pour que Terreur commise en négligeant les suivants soit moindre que toute grandeur donnée, et la somme des limites de ces termes sera aussi peu différente qu'on voudra de la limite de la somme tout entière.