CHAPITRE XVII

En effet, si Ton prend le rapport du terme général au précédent, on trouve

tang' a.

[in — 2) 2« Or les deux facteurs positifs du numérateur étant chacun

moindres que -1 leur produit par tang*a est moindre que X * — ^ — - dont la limite est x * quand a tend vers zéro ;

et sera plus petit que l'unité, quelque grand

que soit x^ dès qu'on aura pris un nombre de termes assez grand pour que l'on ait in — 1^ x*

Mais en prenant la limite vers laquelle tend le terme qui en a 72 avant lui, lorsqu'on fait tendre a vers zéro, et ob"

,. tangii x^" , |.

servant que iim — - — = i, on trouve tl ; la li-

mite du second facteur est donc la limite de la somme de la série

H ^—7 — . . . dz f-

et l'on a par conséquent, quelque grand que soit a:,

(3) cos^=i- — + , , 3 / - , a 3 i 5 e "^---

En parlant de la valeur de sin/7^^l, trouvée précédemment et procédant comme pour cos ma, on obtiendra pour sin x le développement suivant en série convergente, quel que soit x^

(4) sinx = ^ '■ — --\ ^ . o / g i^ ^"••••

Il faut bien remarquer que dans ces séries l'arc x est évalué comme le sinus et le cosinus, en prenant pour unité le rayon du cercle. Les formules sin ma et cos ma, d'où

nous sommes parli, supposaient le rayon pris pour unité; mais il n'est pas inutile de montrer ce qui oblige à prendre pour j: le rapport de l'arc de cercle à son rayon 5 car l'arc n'entrant pas dans les premières formules, ce n'est que dans la suite du calcul qu'on a pu admettre des choses entraînant nécessairement cette condition. Or il est facile de voir où cette nécessité a été tacitement introduite.

En effet, nous avons pris l'uni té pour la limite de — ^^— ;

cela exige que tang a et a désignent, ou les grandeurs géométriques de la tangente et de l'arc, ou leurs mesures avec une même unité. Si donc on a évalué tang a en nombre en prenant pour unité le rayon du cercle, il n'est pas permis d'évaluer l'arc a, et par suite l'arc ma, ou or, avec une autre unité.

296. Application de ces séries au calcul des tables trigonométriques. — Les angles devant être exprimés dans la table en degrés, minutes et secondes, qui sont des fractions de l'angle droit, on remplacera x dans les formules

précédentes par une fraction quelconque — de - qui, dans

nos calculs, est la mesure de l'angle droit. Faisant donc

m TT

on aura

sin( — 90® j =— • 1 ,570796327. . . j-« 0,64596409. . .

ces