Réduction de toute expression imaginaire à

la forme a -^ b y--i . Opérations sur ces expressions ainsi transformées.

Considérons l'expression générale a -h i y— i qui renferme comme cas particulier les nombres réels, positifs ou négatifs, en supposant b = o. Elle rentrerait dans la forme

cos a -f- ^ — 1 sîn a, si Ton avait a' -h 6* = i, parce qu'alors a et b seraient le cosinus et le sinus d'un même arc, ce qui serait un cas très-particulier.

Mais en divisant par 0i* -H é* les deux termes de l'expression a -h J \f—i , on a

sja^ H- ^' \/ûM-

et Ton peut poser alors

= C0S9, - = siiiy,.

SJa^ 4- b^ sja^ 4-

puisque la somme des carrés de ces deux nombres est égale à Tunité; on aura donc, en posant ^a* -h i* = /5,

(i) a -\' b sj — I = p ( ces y -f- ^— I sin y) .

L'angle^ se nomme l'argument et p le module de l'expression a-4-b y/ — I . On est convenu de prendre toujours pour le module la racine positive de a* 4- A*. Quant à l'argument, si a désigne un des angles ayant pour cosinus et sinus les

expressions , ? ? a et c> pouvant être posi-

V^fl^ -h ^^ V^«' -4- ^•!' • • • ^ ^

tifs ou négatifs, on pourra prendre pour (f tous les arcs compris dans la formule

n désignant un nombre entier quelconque, positif ou négatif.

On voit par là qu'en appliquant toujours aux expressions imaginaires les principes et les règles démontrées sur les quantités réelles, toutes les opérations sur ces expressions se ramènent à des opérations semblables sur les modules,

puis sur des expressions de la forme cosy-f- y/— Tsino, que nous avons discutées tout à l'heure.

Ainsi , l'on aura en faisant usage de la transformation (i),

{a + ^V^^) («iH- bi^f^). . .(fl„-+- ^«V^— i)

=|3pi...pm[cos(y-f-(p,-h...-F<ï!«)-h V— isin((p-f-«p,-f-...-f-«p„)|,

[a-\' b sj — i)"* = f^ (cos/w y -t- v^ — I sin nif^) ,