CHAPITRE XVII

m désignant un nombre réel quelconque, entier ou fractionnaire, positif ou négatif.

On voit quelle simplification ces transformations introduisent dans le calcul des imaginaires, entendu toujours comme nous Tavons rappelé tant de fois. Nous allons en faire une application très-simple.

298. application à la' transformation des foimiiles des racines de V équation du troisième degré.

Nous avons vu que les racines de l'équation du troisième degré x^ -^px+ q= o, dans le cas où elles sont toutes les trois réelles, sont représentées par les expressions

A ^t B représentant respectivement — -dti/y-h— >

et a, 6 désignant les racines cubiques imaginaires de Tunilé,

de sorte que yA, ayA, 6 yA seront les trois racines cubiques de A 5 et de même pour B.

Dans le cas où l'on a^-f- — <^o, AetB sont de la

forme — - db n y/ — i , en posant ^ -4- — = — «* 5 et pour

mettre leurs racines cubiques sous la même forme, afin d'opérer les réductions, nous avions été conduit à la recherche de la racine réelle d'une autre équation du troisième degré. Mais ces réductions sont bien plus faciles au moyen des formules que nous venons d'établir. Il suffira, en effet, de poser

— - -f- 72 v^ — I = k (cos^ -f- v^ — 1 sin (p ,

/•' sera \ -\- n^ ou — —7 d'où

et •

37V/3 . 3v/3 / 7» pcos©=— ^ — =1 sin» = ^ 1/ — h- — ^—5

ip\lp ' psip

d'où résultera

et Ton aura les trois racines cubiques de A en donnant à cp les trois valeurs Çi et Çi zfc 2 7r. On aura les racines de B

en changeant le signe de sj — i, et les imaginaires disparaîtront des trois valeurs de x.

Nous allons maintenant démontrer un théorème d'une application fréquente.

299. THéORÈME. — Le module d^une somme iT expressions de laform,e a + b ^ — i est m.oindre que la som>me de leurs modules.

Considérons d'abord deux expressions seulement 5 donnons-leur la forme qui vient d'être indiquée, et représentons-les par

p (cos<p -4- y/ — isiny), p' (coS(j>' -f- \/ — isin(p'); le module de leur somme sera

^ (p cos(f -h p' cos (f' y -\- (psiny -f- p' sin <p' )%

ou

V^p^ -f- p'^ 4- 2pp'cos(y—<p'j;

et comme cos (cp — ç') est compris entre — 1 et -h i , la quantité sous le radical est comprise entre (p-hp')' *-'*• (p — p')**, le module en question sera compris entre la somme et la différence des modules des expressions ajoutées. Il sera égal à p -h p', si l'on a 9 — ç' = 2 w tt, et à p — p'