CHAPITRE XVII

OU p' — p si Ton a f^ — y' = (2/1 4-1)71. On peut donc énoncer ce théorème :

Le module de la somme de deux expressions quelcon-

ques de la forme a-^b sj — i est plus petit que la somme de leurs modules et plus grand que leur différence.

Ces deux limites peuvent être atteintes Tune et l'autre. Par un raisonnement très-connu, on passera de deux expressions à trois, et généralement de /i à n-h i, et l'on aura ainsi le théorème ci-dessus énoncé.

300. On peut démontrer plus simplement le même théorème par des considérations géométriques, en prenant tout d'abord un nombre quelconque d'expressions

(i) a-hb^—iy flf» + ^, v^— I,..., an-\-bnsJ—iy

a, &, ai, &i,..., a„, bn ayant des signes quelconques, et pouvant être nulles. Prenons deux axes rectangulaires AX, AY^ et à partir d'un point M, choisi arbitrairement sur le plan, menons MB parallèle à AX, égal à a, dans le sens AX si a est positif, et en sens opposé si a est négatif; par le point B menons BMi parallèle à AY, égal à &, dans le sens AY si b est positif, et en sens opposé si b est négatif: on obtiendra ainsi un point Mi, et en le joignant au point M, la longueur MMi sera le module (Je l'expression

a -{- b sj — I.

Agissant de même à partir de Mi avec les quantités a^^b^^ quelques signes qu'elles aient, on obtiendra un nouveau point M, ; et k longueur Mi Mj sera le module de

et l'on continuera de même jusqu'à a„ et J„, qui construiront un point M^^.!, lequel, joint à M„, donnera le module de

En joignant ce point au premier M, on aura une longueur dont les projections sur AX, AY seront respectivement

« -+- <ii -h . . . + <î/, et ^ -h ^, -+-...+ ^„,

et qui sera par conséquent le module de l'expression

laquelle n'est autre chose que la somme algébrique des expressions (i).

Et comme la ligne droite est plus courte qu^ toute ligne brisée terminée aux mêmes extrémités, il s'ensuit que /e module d'une somme est généralement moindre que la somme des modules des parties. Il peut tout au plus lui être égal; et cela arrivera lorsque, dans la construction indiquée, tous les modules seront portés dans une même ligne droite et dans la même direction. Ce cas aura lieu lorsque tous les a seront de même signe entre eux, que tous les b le seront de même entre eux, et que le rapport - sera le même dans toutes les expressions.

Remarque» — La démonstration précédente étant indépendante des signes des quantités

on peut les soustraire au lieu de les ajouter; ce sera simplement changer les signes de a et £, leur module restera le même ; celui de la somme sera seul changé ; et, d'après la démonstration précédente, il sera encore moindre que la somme de ces modules, La proposition subsiste donc, soit qu'on ajoute les expressions données, soit qu'on les retranche.

Si Ton n'a que deux expressions

« + ^^— I, a.H-^iV^-— 1,