CHAPITRE XVII

qu'on les ajoute, ou qu^on les retranche, le module de Texpression résultan le conjointement avec ceux des expressions données seront les trois côtés d'un même triangle^ et comme tout côté d'un triangle est plus grand que la différence des deux autres, il s'ensuit que le module de la somme ou de la différence des deux expressions de la forme

rt-f- ^ V — I

est plus grand que la différence des modules de ces expressions ^ ou au moins égal.

301 . Proposition sur laquelle est fondée la théorie des équations algébriques.

Lorsque nous avons parlé des équations de degré quelconque, nous avons supposé démontré ce théorème, que toute équation a une racine, soit réelle, soit imaginaire, de la forme

Cela nous était permis, puisque, comme nous l'avons souvent rappelé, cet ouvrage n'est pas un traité élémentaire : et nous y étions en quelque sorte obligé, parce que la démonstration est presque impossible sans l'emploi des formules trigonomé triques, dont nous n'avions pas encore parlé.

Mais dans l'enseignement élémentaire on n'attend pas pour exposer la trigonométrie que la science des nombres ait été portée au delà de la théorie générale des équations 5 de sorte que la démonstration que nous allons donner pourra être présentée aux élèves suffisamment préparés, et nous avons pu la supposer connue, nous réservant de l'exposer nous-mème après la Trigonométrie.

Quant à ceux qui ne voudraient pas faire les efforts nécessaires pour la bien comprendre^ ils pourront s'en dis-

penser, sans grave inconvénient, puisqu'ils sauront qu'il ne tiendrait qu'à eux d'être complètement satisfaits à cet égard.

Cette démonstration, que nous empruntons au Cours d'' Algèbre supérieure de M. Serrei, est fondée sur le lemme suivant :

Lemme. — Si dans un polynôme de degré quelconque m par rapport à la variable z, et dont les coefficients sont réels ou imaginaires^ une certaine valeur réelle ou imaginaire Za substituée à z dans ce polynôme donne une expression dont le module ne soit pas égal à zéro, il sera toujours possible de trouver une autre valeur pour z^ qui conduise à un module moindre que le premier.

Soit

/{z) =z Az"* -h A, z"-' H- A^z'"-^ + . . . -f- A„

le polynôme en question-, il faut prouver qu'il existe des valeurs réelles ou imaginaires de h qui rendront le module de/(zo-i'h) plus petit que celui dey*(^o) ^ ou le module de ■ * — plus petit que l'unité •, car le module d'un

quotient étant le quotient des modules, il* s'ensuivra que le module dey (-^o H- A) sera plus petit que celui de /'(^o)- C'est pourquoi nous allons chercher le . module de ce quotient et d'abord ce quotient même.

D'après un développement donné dans la théorie des polynômes entiers et rationnels, on aura

/(z,-h A) =:/(Zo) -f-/' (3„) y -h . . .

et remarquons que la valeur Zo peut annuler un certain