CHAPITRE XVII

nombre des fonctions dérivées def(z), mais par hypothèse elle n'annule pasy*(z) -, de plus le coefficient de /i"* ne peut être nul, puisqu'il n'est autre chose que A qui n'est pas nul, puisque f{z) est supposé du degré m. Divisant les deux membres de l'équation (i) pary(zo) et posant pour plus de commodité

ou obtiendra la suivante, en désignant par n l'ordre de la première des dérivées de f{z) qui ne s'annule pas par la substitution de Zq :

' ^ /W -^'^ Zo ^ z/ ^•••^Zo^-

Nous poserons généralement

-^ z= Cp (cosap-h \/^sina^) ,

lia

et

h = p{cos(p -h^ — isinep).

Le second membre de l'équation (a) aura pour terme général,

CppP [cos{pf H- ap) -f-y^— I Sliï(p(f-hap)],

et l'on aura

{^\J jTi / ^i-t-C„p"[co8(/zy-l-a„)4-V^--isiD(/?yH- ««)]+>■■

La quantité h étant arbitraire, et par suite y et p l'étant, on peut choisir cp de telle sorte que

38o ÉTUDE DES COURBES.

Téqualion (3) deviendra alors

-4- y/ — I sin(/2 + i <ï)■4-a„^.,)J-l-...

-4-C;„p'"[cos(m(p4-a,„) -f- y'— isin(m(5p-l-a;„)].

Mais au lieu de prendre le module du second membre, il sera bien plus simple de considérer la somme des modules de ses différents termes. Et comme elle sera plus grande ou au moins égale au module de la somme, il suffira delà rendre plus petite que l'unité, pour que le module de

— — — -— ^ so\i a jortion plus petit que 1 unité.

Pour cela nous commencerons par déterminer p de manière que le terme indépendant de p dans le second mem-

bre de (4) soit positif, cft il suffira de prendre p<C^\/ tt'»

qui ne donne qu'une limite supérieure.

Et comme le module d'une quantité réelle positive est cette quantité elle-même, la somme des modules des termes du second membre sera

et il suffira de trouver des valeurs de p qui rendent celte expression positive et plus petite que l'unité.

Or un polynôme étant ordonné par rapport aux puissances croissantes de p, on sait qu'il existe une certaine valeur /, telle que pour toutes les valeurs de p, depuis o jusqu'à /, le premier terme est plus grand que la somme de tous les autres pris en valeur absolue. On est donc assuré qu'entre ces limites pour p, le polynôme

ce