CHAPITRE XYII

sera négatif comme le premier terme, sans pouvoir être égal à zéro tant que p ne le sera pas lui-même ] et par conséquent l'expression (5) sera positive et plus petite que l'unité.

En prenant donc pour p une valeur quelconque entre

zéro et la plus petite des deux limites / et v tt? on est sûr que le module du second membre de (4)» et, par conséquent, de*^— ^ — - — ' sera plus petit que l'unité. D'où il

résultera que le module de /[z^-hh) sera plus petit que celui dey*(zo)5 ce qui démontre la proposition énoncée. Cela posé, nous allons établir la proposition fondamentale de la théorie des équations.

302. Théorème fondamental. — Toute équation dont le premier membre est un polynôme entier et rationnel, à coeffcients réels ou imaginaires, admet une racine réelle ou imaginaire.

Soit l'équation

(i) Az'"4-A,z—- ' -I-...4- A,„, «H- A;„=::o,

dont nous désignerons le premier membre par f(z). Les coefficients A, Ai,..., A,„ peuvent être réels, imaginaires ou nuls; mais le premier et le dernier sont nécessairement différents de zéro, sans quoi Téqualion s'abaisserait; et l'on s'occuperait alors d'une équation de degré moindre. Nous allons démontrer que si l'on; pose ..

il existe des valeurs réelles de x et y qui satisferont à l'équation

r'est-à dire qui seront telles, qu'en effectuant les calculs

dans l'expression f{x H-j* \l — i ) , ce qui conduira à un résultat de la forme P-hQ y— '? ^^ partie réelle P soit nulle, ainsi que la quantité Q qui multipliera y/ — i \ en d'autres termes, qui seront telles, que le module ^P* + Q*

de P + Q\/ — I, ou/(a:4-Jv/ — ^)i soit nul.

Posons

A = r(cos0 4- ^— I sinô), A, = r, (cosô, -4- ^ — I sinô,),

A„==r;„(cos0;„+ y^^^sin0«),

X'\-jr sj—i :=:p(cosçH- sJ—1 sinç), nous aurons

f{x-\-xsf^)=rf[cos{mif + 0) 4- v/^sin(/wy 4- 0)] 4-...