CHAPITRE XVII

infini. En donnant à la variable cp toutes les valeurs comprises entre o et 2 7r, et par suite k x et j^ toutes les valeurs réelles possibles, on aura toutes les valeurs que peut

prendre y/P* H- Q* ; et il y en aura nécessairement une, ou peut-être plusieurs égales, correspondantes à des valeurs finies de p, qui seront moindres que toutes autres ; c'està-dire que tout autre système de valeurs de r et cp, ou de jc, y que ceux qui correspondent à cette valeur du module y/P* -h Q*, lui donnerait une valeur plus grande.

Cela posé, il est évident que cette valeur minima du module ne peut être que zéro. Car, d'après le lemme précédent, si elle était différente de zéro, on pourrait trouver des valeurs de x ety^ ou de r et (f, qui le rendraient moindre 5 ce qui impliquerait contradiction. Donc les valeurs réelles de a: et ^ qui correspondent à la plus petite valeur du module^ et dont l'existence est évidente, annulent ce module, et par conséquent P et Q, et par suite le premier membre de l'équation (i).

Cette équation admet donc au moins une racine de la

forme x H- j^ y/ — i , x et j" étant des nombres réels : cette racine sera réelle quand y sera zéro. De là résulte le théorème proposé qui consiste en ce que :

Toute équation dont le premier membre est unejbnction entière de la lettre qui représente V inconnue , a une racine réelle ou imaginaire.

Il est inutile de rappeler ici toutes les conséquences que nous avons développées dans le volume précédent, où nous avons supposé ce théorème démontré.

Des séries imaginaires,

303. Lorsque les termes d'une série sont de la forme u j^ (/\/Iirj j on entend que cette série est convergente lorsque la somme des termes réels a une limite 5, et que la

somme des coefEcienls de ^ — i tend de même vers une limite t : on dit alors que la série a une limile qui est

On est ainsi ramené aux conditions de convergence de deux séries réelles. Mais il suffit souvent d'en considérer une seule, celle qui se rapporte aux modules des termes de la proposée.

En effet, on peut toujours poser

u -^ u\l — I = p (cos0 + si — I sinô)/ et la série proposée prend la forme

V j p,(cosO|-f-v^ — isinO,) H- p2(cos03-l-v^ — isinôîj-H*-» ' I H-p„(cos0„H-v^ — I sin 0„)-f-....

Or, si la série

(2) Pt-+- p2 H- . . . 4-|Da

est convergente en prenant tous les termes positifs, il s'ensuit à plus forte raison que les deux suivantes :

. 5. ( Pi COS0, -f- pa COSOj -+-...+ p„ COS9«,

^ ' 1 pi sin 0, -h p2 sin 02 -h • . . -I- p/, sin 0„

léseront elles-mêmes; car à partir d'un terme quelconque, la somme des suivants jusqu'à l'infini est évidemment moindre que dans la première. On peut donc énoncer la proposition suivante:

Une série imaginaire est corn^ergente lorsque la série des valeurs absolues des modules de tous ses ternies est coiwergente.

Lorsque la série (2) n'est pas convergente, il est possible que ses termes tendent ou ne tendent pas vers zéro. S'ils n'y tendent pas, les séries (3) ne peuvent être toutes deux

CHàPITRE XVII. 385

convergentes •, car quelque valeur qu^on puisse supposer à l'angle 6, il est impossible que p cosQ et p sin 6 tendent tous deux vers zéro, si p n'y tend pas : les termes des deux séries (3) ne peuvent donc tendre vers zéro, ce qui est cependant une des conditions indispensables de la convergence. La série (i) est donc dans ce cas divergente.

En second lieu, si, la série (2) étant divergente, ses termes décroissent indéfiniment, il n'est pas impossible que les séries (3 ) soient convergentes, parce que tous leurs termes ne sont pas nécessairement de même signe : on ne peut donc alors rien affirmer, en général, sur la convergence de la série proposée.

304. Opérations sur les séries imaginaires. — Les seules séries imaginaires dont on doit s'occuper étant convergentes, ont pour somme une expression de la forme

A -f- B y/ — 1 5 et en désignant par M le module y/A* 4- B*,

et par 6 l'angle dont le cosinus et le sinus sont respecti-

A B vement ^jtï' ït' cette somme se trouvera exprimée par

M(cosG4-v/ — isinô)-

En entendant toujours de la même manière les opérations sur les imaginaires, on exécutera avec la plus grande facilité toutes les opérations sur les fonctions représentées par ces séries. Si, par exemple, on avait à multiplier deux fonctions représentées par des séries dont les sommes sont

M(cos0 -f- y/ — isinô) et n(cosç -l- v'— isin<j)), le produit serait

MN[cos(G -f-ç) + v/^sin{0 -h y)],

et il serait la limite du produit des deux polynômes composés des n premiers termes de chacun qu'on multiplierait

suivant les règles des polyDÔmes; le nombre n croissant indéfiniment. Si on avait à les diviser, le quotient serait

- [cos(0 — (p) + v^^sin(0 — y)],

puisque celle expression multipliée par le diviseur reproduira le dividende.

30S. Théorème sur la multiplication de deux sénés imaginaires. — Ce théorème n'est que Texlension de celui qui a été démontré précédemment sur les séries réelles, et il s'y ramène immédiatement.

Désignons par r„ et p^ les modules des termes de rang // de deux séries imaginaires

( r,(cos^H-y/ — isin/,) 4- rofcosfj-h v^ — isin^)-i-... ( -H r„(cos^-|-v/— isinr„)

• j p, (cosG, -f-\/ — isinO,) -hpîfcosôj-h y/— isinôj) + . . . ' -f- p«(cos0„ -f- \/— isinô;,) -f- . . . ,

et supposons que ces modules pris tous positivement forment deux séries convergentes dont nous désignerons les sommes par 5, s' \ les proposées seront elles-mêmes convergentes et nous déMgnerons leurs sommes par S, S'. Considérons maintenant une troisième série dont le terme général soit

(3) r, p„ -H Ta p„«., -+-...-!- r„, p. H- r„ p

On sait qu'elle sera convergente et que la somme des termes aura pour limite le produit ss' , Or, il s'agit de démontrer que si au lieu des modules des termes on prend les termes eux-mêmes, on formera une série imaginaire dont la somme sera le produit des sommes S, S^