CHAPITRE XVII

En effet, le terme général de cette série sera

r,p„[cos(^, -f- 0„) -t-v/— 1 sin(/, H- 0«)j

r, p„, [cos (/, -h 0„, ) H- v/— I sin (/j -f- 0«-. )J

-f- r„p. [cos(/„ + 9,)-f-. y/— » sin(^-f- 0,)].

Or, le terme (3) est plus grand que la partie réelle, et

que le coefficient de y/ — i dans le terme (4)5 car les sinus et les cosinus ne peuvent dépasser i , et leurs signes peuvent n'être pas tous les mêmes : d'où résulte évidemment la convergence des deux séries formées de la partie réelle et de la partie imaginaire des différents termes de la série dont le terme général est (4). H est donc déjà démontré que cette série est convergente : et il ne reste plus qu'à prouver qu'elle a pour somme le produit des sommes des deux autres, c'est-à-dire SS'.

Pour cela posons

fl -f- 1*2 -T- - . . -T- /*« S,f ,

pi -I- pi -4- • • • -I- Pn = «5 n >

et désignons par a„ la somme des n premiers termes de la série dont le terme général est (3), et par ^ la moitié de n ou de 71 +1, suivant que n est pair ou impair. On sait que a„ renferme tous les termes du produit s Sp^ et d'autres encore qui ne sont qu'une partie de ceux que s^s^ a de plus que Sps'p'^ et c'est même de là qu'on a conclu que c^ avait pour limite le produit des limites des sommes 5„, s'„.

Or, si l'on désigne par S„,S'„, ^ , les sommes des wpre-

miers termes des deux séries imaginaires proposées, et de

celle dont (4) est le terme général, il est évident que ^ con-

tiendra tous les termes qui composeront le produit SpS)„

et d'autres encore qui ne seront qu'une partie de ceux que S„S'„ a de plus que S^S'^,; mais les termes de ce dernier excès ne diffèrent de s„s'„ — .ç^ij, que par des facteurs trigonométriqùes de la forme

cos/5 -f- ^ — I sin p; la somme des termes réels y sera donc moindre que

s„ s^ — Sps'p^ et le coeftîcient total de y/ — i sera aussi moindre que cette même quantité. Mais on sait que celle quantité tend vers zéro 5 donc il en sera de même delà partie réelle et de la partie imaginaire de la différence

S„S'„ — SpS'^o et à plus forte raison de l'excès de ^ sur

Mais à mesure que n augmentera indéfiniment, la partie réelle et la partie imaginaire de S^ S'^„ ainsi que de S„ S'„,

tendent vers celles du produit S S' ; donc, \] a pour limite S S', comme on se proposait de le démontrer.

306. Déi^eloppcment d*une puissance quelconque d^ un binôme imaginaire.

Si le degré de la puissance était entier, la formule ne différerait en rien de celle qui se rapporte à un binôme réel, puisqu'elle ne dépend que des procédés de la multiplication, et qu'il est bien entendu qu'on les suit identiquemenl lorsque les termes sont imaginaires. Il n'y a donc lieu d'examiner que le cas où l'exposant est positif et fractionnaire quelconque, ce qui, comme nous l'avons plusieurs fois expliqué, comprefid le cas où il serait incommensurable; et enfin le cas où cet exposant aurait une valeur négative quelconque.

Tout binôme imaginaire a + b ^ — 1, a et b pouvant ^voir des signes quelconques, peut se mettre sous la forme

p (cosG -f- v/ — I sinO)^