CHAPITRE XVII
en posant
^a^-\- b^z=p, : = cosO, =sinfl;
\/a^ -f- b' )Ja' -f- b^
et on peut encore l'écrire ainsi
pcos9(i -f- si — I langO\
de sorie que si m désigne le degré de la puissance en question, on aura
(rt-f- bsj—\f'=i (pcos©)'" (i-f- v'— I tango)
Le monôme pcos 6 sera positif ou négatif suivant la valeur de cosd, qui est de même signe que a, puisque nous prenons toujours le module p positivement. La puissance de ce monôme ne donnera lieu à aucune difficulté. Si Texposant a un dénominateur q^ la puissance m de pcosQ aura g valeurs différentes quel que soit le signe de m ^ nous les avons discutées précédemment, et nous n'y reviendrons pas. Nous nous bornerons à dire qu'en attribuant toutes ces valeurs au facteur monôme, il suffira d'en considérer une seule pour la puissance m du binôme
i-j-y/ — I iang{?, et c'est cette recherche qui va maintenant nous occuper.
Soit donc proposé de développer la puissance de degré w,
positif ou négatif, d'un binôme quelconque i-hxv^ — i, suivant les puissances entières et positives de x.
Nous suivrons la même marche que dans le cas d'un binôme réel, et nous chercherons ce. que représente la
série suivante :
Maïs avant de chercher ce qu'elle représente il faut s'assurer qu'elle est convergente, sans quoi la question n'aurait pas de sens 5 et pour cela il faut que les termes réels forment une série convergente, ainsi que les coeflScients
de v/ — 1', c'est-à-dîre qu'il faut que les séries m(m-^i) 7/,(7y?^i)(w — 2)(m--3)
et
m (m — i)(ni — 2)(w — 3)(w — 4)
OjS
soient convergentes. Or, en prenant dans chacune le rapport d'un terme général au précédent, on trouve qu'il a pour limite x^ quand le nombre des termes précédents croît indéfiniment.
La condition nécessaire et suffisante pour que les deux séries soient convergentes, est donc j:' <^i. En conséquence, nous ne devrons considérer que les valeurs de x comprises entre -|- 1 et — i-, mais m pourra être pris arbitrairement.
Considérons maintenant une série semblable à (i), et qui n^en diffère que par le changement de m en w'j puis multiplions-les l'une par l'autre comme dans le numéro précédent : cette nouvelle série sera convergente et aura pour somme le produit des sommes des deux premières 5 son terme général
[m -f- /w') (m -h m' — i ) . . . (w -f- /w' — /» -H i) / /ZZ" '^
s'obtient en changeant m en m -h ni' dans la première.
En multipliant la série ainsi obtenue par une troisième différant de la première par le changement de m en m"^
