CHAPITRE XVII

on en obtiendra une autre dont la somme sera le produit des trois séries multipliées, et dont les termes se déduiront de ceux de (i) en y changeant m en m -h m'+ m". Et il en sera de même si Ton continue cette opération pour un nombre quelconque de séries semblables à (i). Pour exprimer cette propriété de la série (i), désignons la limite de sa somme par ^{m)^ nous aurons

(2) y('w) f (m') çf/w"). • . . ^f (m -h w' + iw" -4- . . .)•

Cette proposition remarquable va nous conduire à la connaissance de la fonction désignée par (f (m) dans les deux cas que nous considérons, de m positif et de m négatif.

1° Supposons d'abord m positif et commensurable, on aura

r et q étant des nombres entiers quelconques.

Dans l'équation (2) prenons toutes les quantités m', m"... égajes à m et en nombre q •, elle deviendra

Mais r étant entier, y {/) n'est autre chose que

on a donc

et, par conséquent,

ou en employant la notation des exposants fractionnaires, pour les expressions imaginaires, comme pour les réelles,

On a donc pour toute valeur commensurable, et, par con-

392 ÉTUDE DES CODBBES.

séquent aussi pour toute valeur incommensurable de m, pourvu qu'elle soit positive,

\i-\-x^ — I; :=i\-\-mxsJ — i '\ [xsl — ï)

2? Supposons maintenant que m ait une valeur négative quelconque, — n, La formule (2) donnera, en ne considérant que deux séries,

équation qui deviendra, en prenant m'= /?,

Mais en faisant m = o dans la série (1), elle se réduit à I , et par conséquent on a

Donc

et comme n est positif, on a

et par conséquent

(i -hx^ — i/' et, en employant le notation des exposants négatifs pour les

Donc, quielle que soit la valeur réelle de w, pourvu que x

imaginaires