Formule de tous les logarithmes d* une expression

imaginaire a-^-b y/ — 1 .

On a îdenliquemenl

V^fl- -f- b' y/ûM-^/

Désignant par 6 un arc ayant pour cosinus — === el pour

sinus ^ et par p la valeur positive de y/a* -f- A*, on

i02 ÉTUDE DES COURBES.

aura

a-h b v/ — I = p [cos (Ôdia/îw) -4- y/ — i sin (Ôdi 2/1 tt)],

\l — I désignant dans les deux membres la même racine carrée de — i . Or les deux facteurs de ce produit ayant respectivement pour logarithmes Ip eiQ^ — I, il en résultera

l'expression la plus générale de a-^ b y^ — i en exponentielle est donc

et , par conséquent , la valeur la plus générale de

/ (ûH- byl — i) est

/(a-f- ^ V^—.O = /p -4- (0 -t- 2W7r) v'— I, et, comme conséquence,

/(cosô H- y/— I sinO) = (0 + nnn) ^—i,

y/ — I étant toujours la même racine carrée de — i dans les deux membres.

Si l'on changeait i en — i, il suffirait de changer en — 9, et, en achevant semblablement le calcul^ on obtiendrait

l[a— b^—i) = /p-+-(— Ô-4-2/i7r) sj — i,

yj — I étant toujours le même dans les deux membres, n étant un nombre entier arbitraire, positif ou néga;tif, qui, par conséquent, pourrait être pris différent dans les

logarithmes de a -h J s[~\ et de a — b yj — i , bien qu'ils entrassent dans le même calcul.

Dans le cas particulier de a = o et A = 1 , on a