CHAPITRE XVir

Ces formules donnent

. 04-2n7rW-'

et ces deux équations peuvent être renfermées dans la sui-

vante

d'où

la valeur de \j — i étant la même dans les deux membres ; les valeurs paires de k correspondant à l{\j — i ) et les impaires à / ( — \j — I ). Les plus simples de ces valeurs s'obtiendront en faisant dans la première /[ = o, et dans la seconde ^ = — i ; elles seront

315. Considérons encore une expression plus compliquée ^ et cherchons le logarithme de la puissance dç degré imaginaire m-h/iy/ — i, d*une quantité imaginaire

D'après le sens que nous avons donné aux exposants injaginaires, (a-+- iy/ — ^f^^H-"" indique le résultat de la substitution de m -f- « sj^-r-i à çc dans le développement Je (a+ 6 si — i)"^, suivant les puissances de x. Pour obtenir ce dernier, on remplacera d'abord a-^byj — i par

une expression trigonométrique en posant sja^ -^ b^ z= p^

4o4 ÉTUDE DES COUBBES.

et désignant par un arc ayant pour cosinus — et pour si-

nus -• Tous les arcs jouissant de la même p^'oprîélé seront

exprimés par la formule 9 -f- 2Â7r, A' désignant un nombre entier quelconque , positif ou négatif. On aura ainsi l'expression tri gon omet ri que la plus générale de a-^h yj — i en prenant ...

a -t-b sJ—\ =p [cos(Ô-H- s/tt) -f- v^— i sin (Ô -hikn)] et, d'après ce que nous savons, On aura,

Il faut mainlenaiif:TC3Df>lacerji? par ni-ph yj^^i dans le développement de cette dernière exponentielle, ou bien^ ce qui donnera le même résultat, faire cette substitution dans l'exposant même et dévelbppei* ensuite. La^^ Signification de Texpression prpposée est donc clairement établie par l'équation suivante :

Maintenant^ rexposant. dee dan? le secpi^^ ,R^Ç|îï1>,^^Ç <ist un logarithme de l'expression propp^ée; et^; compae nous l'avons dit précédemment, on aura la formule générale de tousses logarithmes^ en y , ajoutant l'expression générale

des logarithmes de l'unité, ou 2^'?:^/— i, A' désigaant un nombre entier quelconque, positif ou négalii. On aura donc la formule générale suivante :^ i

l[a-hbij—i) ^

= {m H- wy/^) [l p 4- (ô-f aX-^) V--TJh- s/'ttv/^^.