CHAPITRE XVII

La règle est donc encore la même que si l'exposant était

réel. On trouve, en effectuant et supposant que y/ — i indique partout la même racine de — i ,

Quant à l'expression proposée elle-même, elle serait transformée dans la suivante :

-+- y' — I sin[/?/p-f-/^i(0 -+-2X-7r) + 2X-'7r] j

Dans le cas particulier où Ton aurait « = 0, i =1 ,

* ■ . * m = o, /i = I, et par suite o = i\ Zp zp o, 9 =iz -, cette

dernière équation Revient ... : ;

!Tt

et

ce qui est conforme à la règle dans le cas des exposants réél^, câr^ en la suivant, on écrirait

Triais, ptiîsqufe

on a

49^ ÉTUDB DES COURBES.

et, par suite,

et on aura le logarithme le plus général en y ajoutant '^h!n\J — I, qui est le logarithme général de Tunîté.

316. Développement en série du logarithme d^iine quantité imaginaire. — Nousavonsvu que tonte expression imaginaire a -+- 6 ^ — 1 a un logarîlhuie de même forme-, nous allons nous proposer d'exprimer ce logarithme

par une sénei En mettant à en fdéteàr-et posant -= x^

cette expressjort devient « (i -f- x \/ — i ), et son loprithme

est égal h /à -f- / f I -4- X ^-^ I ) . La question se réduit donc

à déyeloppei* /(:i -ib J^. V'-fr; i ) en; série^ ,, . U ^^ •

Nous avons déduit précédemment le développement de /(i -hx) de celui de (i +a:)'"; voyons si Ton ne pourrait pas sembiablément déduire le développement de

'{i -hx )J — i ) de cdui de ( iH- oc \/ — i)", qui est, comme nous l^'avoiis fai t Voi h;

If > •■.uî j;;.

et qui est convergent si x est compris entre — i et 4- i.

On en déduira, cotnme. dans le cas du second terme réel, en faisan^ tendi^e wi/vers zéro,

,. (iH-JFV — i ) — I /-^— ( .r V — I ) lim zrr j? J — j -

[.icsl — I Y {x sj — I y