CHAPITRE XTIl

Il s^agit malmenant de trouver la limite du premier .

membre. Or, puisque i-{-x yj — i = e ^'"^^v—»)^ on aura, d'après ce qui précède,

— IH i.^ 1 ^ -+-...,

d'où

/If ^

ce logarithme étant pris de la manière la plus générale. Il comprendra comme cas particulier l'expression trouvée

( I I jp j"* .— f

d'abord pour limite de -^ '- et qui s'annule avec x.

On aura donc pour le développement de /(t + arv/^— i) s' annula ][it avec a*.

et par conséquent le développement du Jogariihme d'un binôme imaginaire suit la même règle que celui du logarithme d'un binôme réel.

317. Nous pouvons déduire dç la formule (1) un développement important, celui d'un arc au moyen de sa tangente. En effet, on a

l +xsl—\ =^l-\-X^\ -4- 1 1

^ — I arctangx

l{\ -t-j7^— i) = -/(i -l-a:=») -H /--i arctangj?.

408 ÉÏUÙB DES COURTES.

mais la formule (f) devient, en effectuant l^es puissances de y/ — I,

/ \ x^ jc* a* / a:^ JT* \

/(n-xv^-ij=--^4-^-i-...4-v'-i i^^-y-t-y-j-

Ces deu^ valeurs de /(i-hJ:), devant être identiques, ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. C'est ce que Ton reconnaît immédialement pour la première 5 et la seule proposition nouvelle qui en résulte, en ^alani les' parties imaginaires^ est le développement de arc tango: suivant les puissances de x. Il est, pourvu que a: soit compris çntre —1 et-i-i, i

.Xr3 jr.5 j,1

C est^ de tous les arcs qui ont la même tangente x, celui qui devient |i^^4viçç.r. . ' \,., .it»,.. f. \ ,

Celte série remarquable donne une expression du rapport de la circonférence au diaiiièlre. En y faisant x = i elle devienl .i:

Malheureusement cette série, qui a été découverte par Leibnitz, est très-peu convergente, et exigerait de 1reslongs calculs pour donner une approximation assez faible. Mais Euler à indiqué un( moyen d-eti tirer une valfeur'dc n en n'employant que des valeurs de x qui la rendent très-

convergente. Il consiste à partager j en deux arcs dont les

tangentes aiient des v^^l^nrs «impies, et de calculer chacun d'eux par sa talttgente^ qui, ét^nt plus petite que i, donnera lieu à une série plus convergente^ <

Prenant 'pour T-un de i ces arcs celui dont la tangente

est -9 on trouve, facilement que la tangente du second est

-^» et i on aura

II I ï t' r

-y =z arc tang — h arc tang ^

— 'li^'J' I Ji

On pourrait encore calculer tt par des séries plus con-

veirgentes, en partant de lare dont la tangente eat-^t, «t 4l[ui

se calculera' par une série beaucoup plus convergente que

ces dernières. Le désignant' par i, on calculera là "tangente

de 2a qui ser^.-j ou — > puis la taugentie de ^a qui sera

ou iH On voit ainsi que A a est plus grand

que -y) et il suffira de calculer l'excès ^"qàî 'est la 'dlffé*i;

rerice des angles ayant respectivement po.ur tangentes i et

I H Sa tangente, déduite de ces deux-cî, scra>^^*^i et

la série de arc tangx donnera i, en remplaçant x par — r—

La valeur de 6. se calculera donc avec beaucoup d'approximation au moyen d un tres-petit nombre de termes; et la valeur de TT sera 4(4 « — ^). . ,

"■ 318è Memarçue, -jr- On aurait pu^ déduire la Jîmite dier

^ comme cela a ete lait précédemment

dans le cas d'un binôme réel 5 niais nous y sommes parvenu plus pronaptement ici, parce que nD*s avons pii faire usage dti développement d'Une» eTtponéntîélle en série, ce qui n'était pas encore connu dans le piemier cas. On pourrait néanmoiiiâ' suivre tout à fait la même marché; t;omme

4lO ÉTUDE DES COURBES.

nous allons le démontrer ^ et cela aura Tavantage d'étendre

aux imaginaires la proposition importante que a

pour limite l'unité quand a tend vers zéro.

1° Supposons d'abord a de la forme x \[—i et cherchons la limite de —- — r — - quand x tend vers zéro,

en considérant le logarithme qui s'annule avec x, c'est-àdire prenant /. i ==0.

Or op a

et ♦ ^ '

/(i-f-x^/ — i) I /(i-f-;r') , nrctang^?^ i

arctang^,

ir ^ — ^^I a y/^— 1 '^

je , . r (

/ ( i -4- x' ) ■ ' ' ' ' En passant à la limite et remarquant que tend

vers l'unité et par conséquent vers zéro, on aura

hm -^ — £=n — - = I

c(J^^mepp^r «réel., I 5. , ; ;i-

2° Supposons en second lieu « = a -h i y/ — i, ce qui est la forme la plus générale de ce que nous avons appelé expressions imaginaires^ et cherchons la limite de

— - — f .. — -^ quand a I et o tenden^ en rn^eroe temps

vers^éro, en ayant un rapport fini quelconque., Nous aurons d'ahord

l[i + a-+-b s/—i)^-i[{i-haY'^b^]-{- V^— i arc tang — - —

Or arc tane ne diffère de que d une quantité

i • 1 ' ■ il . . ' . . 1,1;.) !.■•■• • ■ . I • ■ . I . . f f - ' f

CHAPITIIË XVII. 4' ^

infiniment petite par rapporta ou simplement à i;

et /(i -h ia-ha' -hfc') ne diffère de 2 a -H a* -H i" que d'un infiniment petit par rapport à cette dernière quantité ou simplement à a, et comme a^ + h^ est infiniment petit

par rapport à «, - /[(i -h a)*-4- i'] ne différei^a de - 2 a

Je Jà

ou de €1 que d*uBe quantité dWdre supérieur; d'où il suit

que /(n-a-f-ty/ — 1) ne diffère de a -^^ h ^—\ que d'une quantité ci) d'ordre supérieur à a et 2». On a donc

/fï-f-rtr-f bsT- ^)

a -\- b si — I a '\- b sj — i

et la limite esi i. ^

On peut donc dire que, quel ^ue soit a, r^el ou imaginaire i on JfL \

Jim :=!> ou Iira(i4-a) =é?.