Cette extension étant établie, si l'on demande la li

mite de » qnpud m tend vers zéro, on

posera, comme il a été fait dans le cas aés quantités réelles,

rexpressiôii proposée deviendra —'» et ? tendra vers zéro. Si 1 on substitue maintenant a/w sa valeur —, r ,

cette fraction deviendra —. /(i-l-j^J — i),dontlali-

mile sera /(ji-1-.r ^/ — ri), puisque -r ^ apour limite i.

On parviendrait donc ainsi au développement de

4l2i ÉTUDE DES COURBES.

l{i-hx^ — i) par une suite de calculs identiques à ceux qui ont été employés pour l (i-Hor).

320. Il serait superflu de multiplier davantage les exemples sur le calcul des exponentielles et des logarithmes des quantités imaginaires.

Les contradictions que l'on pourra quelquefois rencontrer ne seront qu'apparentes, et tiendront à ce que l'on aura oublié qu'une quantité quelconque réelle ou imaginaire a une infinité de logarithmes. Il n'y aura donc pas lieu de s'étonner si deux calculs conduisent à des expressions différentes pour le logarithme d'une même quantité; il suffira, pour qu'il n'y ait pas contradiciibn, que ces expressions différentes soient comprises dans la foraiule générale des logarithmes d'ime même quantité.

Ainsi le logarithme d une puissance n'est pas nécessairement le produit du logarithme de la quantité par le degré de la puissance^ vu qu'on peut prendre des valeuris inégales pour les logarithmes des facteurs égaux. Si par exemple on considère un nombre positif <7, et qu'on désigne par la son logarithme réel, le logarithme de \a' ou de, «a n'est pas nécessairement 2 la parce que les logarithmes des

deux facteurs sont la ± init ^— i pour le premier, et la± ifir. y/ — 1 pour le second, les nombres entiers /t' pouvant être différents. Le logarithme jdu produit a^ est donc, d'après la règle démontrée (3M),

2iadz 2;(/i H- w') it \j — 1 ,

et a ^rt n'en e^l qù'iiïie valeur particulière.

Voici maintenant une des difficultés qu'on a élevées sur l'emploi des logarithmes des quantités qui ne sont pas des nombres réels et positifs. On a dit a* est le carré de -^ a aussi bien que de -}-«v5on logarithme est donc aussi bien 2Z(— fl) que 2 /a, donc /(— a) = /a, ce qui est faux. Mais

CHAPITHE XVII. 4*3

Eulcr a très-bîen levé cette difficulté en faisant remarquer que le logarithme de a* n'est nécessairement ni 2 /a, ni 2/( — rt), et que par conséquent on ne peut conclure la = l( — a) : il suffit pour faire disparaître Tapparence de eontradictioti' annoncée par les deux résultats, de montrer qu'ils sont l'un et l'autre dés cas particuliers de la formule générale des logarithmes de a'.

Eli: effet --^<i a pour logarithmes toutes les expressions conteBues dans la formule

Donc le logaritl^pie de — ax *-r-a a pour expressiotï générale^ d'après la règle démontrée ci-dessus pour le logarithme d'un produit.

•M-:±'(i>4-0îrv^-^''4-'/«^";(2/?' + lJ7rv^ ;