OU

■■- - ••' ■ :2//id=2(/?-|-y+iy7rv/--i. ,.,,., , . • . • ■ . , »•>■,•.''■'• • '

r, nous ayon<5 prouvé pour Jejiogarithme du produit rt X«

et <ies deux expressions, qui nç pjçuvent coïncider, sont «également renfçrmjéès dans la formule

2/fldb aX^rV— 1^.

qui est ceJlle4iJ^^garilhinei(Je «'. ! ,-

32i. Mtai'sll rï^est; niéme pas besoin de faire usage de toute l'indétermination que comporte chaque logarithme, et on peut considérerlajolème valeur pour le logarithme des facteurs égaux. On aura ainsi, (9131^. doublant ]e logarithme

de a i, >v ^

et doublant celui de — a ' •

4l4 ÉTUDE DES COURBES.

Or ces deux expressions ne peuvent coïncider, mais sont renfermées dans ]a même formule

la première correspondant à A pair, et la seconde à k Impair. Et toutes les difficultés que pourrait faire naître l'application des propositions qui précèdent et de celles qui vont suivre, se lèveront comme celle-ci. Il ne peut y avoir de contradiction réelle entre les conséquences rigoureuses de principes qui n'ont rien de contraire à la nature des choses en question,

322. Expression des sinus et cosinus au moyen d'ex* ponentielles . — Des formules précédemment trouvées

(l). tf^V — » ^:: COSX H- ^ — isin.r, e^-^V — ' 3z=cOS.r — sj — ISÎn.r,

on tire

(2) C0S.r = 9 Sin.r=-^ —

Ces expressions sont souvent utiles, et elles rie sont au fond autre chose que celles que nous avons trouvées pour le développement de sînj: et cosx suivant les puissances de a:, et que l'on retrouverait ici en remplaçant les exponentielles e'^""', g— ^v— * par j^g développements en série qui en sont la définition 5 de sorte qu'on les obtiendrait directement en partant de ces développements au lîeu de partir des valeurs des exponentielles exprimées en sinus et cosinus.

Supposons maintenant Tare x imaginaire et représenté

par a -f- 6 sj — 1 .

D'après notre définition générale des opérations trans-

CHAPITKE XVII. 4>5

cendantes sur les imaginaires, on aura

cos^a-f-6 V— -ij = i— ^ -f- ^ 5-7 —

et ce développement est la demi-somme des deux suivants correspondant respecllvement aux doubles signes

izn m . y — I

et, par définition, ces développements représentent Texponentielle

on a donc

COs(a+ g^ — I ) =

On trouverait de même

in (a + 6 y^ — 1 ) =

sm

ce qui montre que les formules (1) subsistent quand x est imaginaire.

En effeclus^nt les calculs on trouvera

e^-¥-e^^ . i?^I tf-^

|cos(a H- 6 y/ — 1)= ces a sina ^ — i,

'sîn fa 4- 6 \/ — r) = sin a ^ -f- cosa — ^ J — i .

Si a = o, on aura

cos(6 ^ — I ) =

sin(§^/.— i) = — — ::= ^— I