CHAPITRE III. 6l

culaire CD sur le côté opposé, on décompose ce triangle en deux triangles rectangles qui nous feront connaître une relation entre les côtés et les angles du premier.

Il suffit en effet de calculer le côté CD dans chacun des triangles rectangles, et d'en égaler les expressions. On aura ainsi, en désignant par a, i, clés côtés du triangle opposés respectivement aux angles A, B, C,

CD = ^sinA, CD=:/2sinB, d*oii ûsinB=:ésinA ou

sinA a

sinB h

Cette équation ne serait pas changée si la perpendiculaire tombait en dehors du triangle, ce qui arriverait si l'un des angles était obtus, comme dans le triangle A'BC. En effet, on aurait

CD = CA'sinCA'D;

mais comme le sinus d'un angle est égal à celui de son supplément, on pourrait substituer sin CA'B àsinCA'D, et l'on retomberait sur la formule précédente.

En considérant deux à deux les trois angles d'un triangle, on aura trois proportions ou équations, dont l'une est une conséquence des deux autres, et qu'on peut écrire ainsi :

sin A sînB sinC ^ a à c

35. Remarque. — Un triangle étant déterminé par trois de ses éléments, pourvu qu'il y entre au moins un côté, mais ne l'étant pas par deux seulement, on peut avoir trois équations générales entre les six éléments, mais pas davantage, à moins qu'elles ne rentrent les unes dans les autres. On en considère de bien des formes différentes, et pour chaque espèce de question on choisit celle dont l'application est la plus commode. Mais il ne faut pas oublier que de

62 SCIENCE DE l'ÉTENDUE.

trois d/5 ces équations on pourrait déduire toutes les autres*, car s'il existait seulement quatre équations, dont aucune ne rentrerait dans les autres, il suffirait de connaître deux éléments d'un triangle pour que les quatre autres fussent déterminés, ce qui est faux.

Si donc aux dernières équations on joignait celle qui exprime que la somme des trois angles est égale à deux droits, on en aurait trois, ne rentrant pas les unes dans les autres, et qui suffiraient à la rigueur, mais ne seraient pas ' les plus commodes dans tous les cas. Mais par diverses transformations on peut en déduire d'autres dont l'emploi est très-avantageux, lorsque les premières seraient très-peu commodes.

36. autres équations entre les côtés et les angles, — On a démontré que dans un triangle quelconque ABC

Fig. 12.

(fig. 17.), si l'angle A est aigu, et qu'on abaisse de 6 une perpendiculaire BD sur AC, on aura

et que si A est obtus on aura

€1» = ^* + c2 4- 2 ^. AD =: ^' + c' — - 2 ftc cos BAD.

Dans le premier cas, c'est le cosinus de l'angle A qui entre dans l'équation ; dans le second, c'est le cosinus de son supplément. Les deux autres B et C donneront des formules analogues, et l'on aura ainsi trois nouvelles équations entre les côtés et les angles d'un triangle, qui ne rentreront pas