CHAPITRE III

ces projections ont entre elles une relation très-simple que nous nous proposons d'exprimer par une formule générale. Pour l'établir de la manière la plus claire, supposons que nous partions d'un sommet tel, que le polygone entier soit situé d'un même côté du plan mené par ce sommet, perpendiculairement à la droite fixe*, et toutes les projections des côtés tomberont sur la partie de cette droite qui est située du même côté de ce plan que le polygone. Le premier côté parcouru éloignera de ce plan d'une quantité égale à sa projection ; le second côté en éloignera ou en rapprochera suivant que la direction suivant laquelle il est parcouru, fera un angle aigu ou obtus avec la direction de la droite fixe ; et il en sera de même de tous les suivants. Le point qui décrit ainsi le polygone, pourra s'éloigner et se rapprocher alternativement un nombre de fois qui dépeïid non-seulement du nombre des côtés du polygone, mais de leurs directions arbitraires : mais ce qui est certain, c'est que lorsqu'il sera revenu au point de départ, la somme totale des quantités dont il se sera éloigné, sera exactement égale à la somme de celles dont il s'est rapproché du plan, puisque le point de départ et le point d'arrivée se trouvent dans ce plan.

Or, la projection d'un côté quelconque est un côté d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le côté du polygone , et dont l'angle aigu compris est celui que forme la direction de ce côté avec celle de la droite fixe : cette projection est donc le produit du côté par le cosinus de l'angle aigu de ces deux directions. Mais il reste à distinguer d'une manière générale, et sans être obligé de faire aucune supposition particulière sur la direction des côtés, quelles sont les projections qu'il faut ajouter entre elles; ou, en d'autres termes, distinguer les projections qui éloignent du premier plan et doivent être ajoutées entre elles, des projections qui rapprochent et doivent être réunies les unes avec les

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autres. L^ équation générale s'obtiendra alors en égalant ces deux sommes entre elles, ou en égalant h zéro leur différence.

Cette distinction a déjà été faite au moyen des angles aigus ou obtus que forment, avec la direction fixe, les directions successives des côtés dans le sens où ils sont parcourus; de sorte que la difficulté consiste seulement à faire en sorte que dans Téquationqui exprime que la différence des deux sommes est nulle, on ne soit pas obligé de donner un signe ambigu à chaque terme, ou de faire des suppositions particulières sur les directions des côtés, et en faire deux catégories, qui ne comprendraient même pas toujours les mêmes côtés, si Ton changeait la direction de la droite fixe. On se trouverait ainsi obligé à des discussions qui pourraient devenir très-compliquées par les applications répétées de la formule et sa combinaison avec d'autres ; et il est, sinon indispensable, du moins très-utile de trouver une expression unique pour les termes de l'équation, soit qu'ils doivent être ajoutés, soit qu'ils doivent être soustraits.

Or, le moyen bien simple d'y parvenir n'est autre que celui qui a servi à généraliser la formule précédente. Il suffit de représenter chaque projection par le produit du côté du polygone par le cosinus de l'angle que fait avec la direction fixe, celle du côté dans le sens où il est parcouru; d'égaler à zéro la somme de tous ces produits, en regardant les cosinus comme positifs pour les angles aigus, et négatifs pour les angles obtus , et en entendant que ces facteurs négatifs seront traités suivant les règles des signes des polynômes. Les additions et soustractions se feront ainsi comme l'exige la relation géométrique ; on aura donc l'équation exacte avec une forme unique pour l'expression de tous les termes, ce qui était le but qu'on se proposait.

Si on désigne par a^ b,c^, , . les longueurs absolues des côtés^ par a, S, y, ... , les angles formés avec une direction