CHAPITRE III

déterminée arbitraire, par les directions des côtés, dans le sens où ils sont respectivement parcourus, Téquation générale qui existera entre ces quantités sera

acosa 4- ftcosê 4- CCO87 4- . . . = G.

On emploiera cette équation dans tous les calculs demandés par les questions auxquelles on aura à Fappliquer, et il ue sera jamais nécessaire^ de faire la distinction entre les angles aigus ou obtus : on ne le fera que quand on voudra appliquer à des cas particuliers les résultats du calcul général.

39. Si tous les angles ou arcs étaient compris dans le premier quadrant, la généralité des formules n'offrirait aucune difficulté et n'aurait besoin d'aucune discussion. Mais^ soit pour les cas ordinaires de la résolution des triangles, soit pour des applications plus étendues, il est nécessaire de considérer des angles plus grands qu'un et même que deux angles droits. Il est donc indispensable d'étudier les modifications que subissent toutes les formules quand les angles qui y entrent prennent toutes les valeurs de zéro à l'infini, et de les réduire chacune à un seul type d'où se déduisent, par des procédés concordants eiitre eux, toutes les variétés correspondantes aux diverses valeurs des angles. Par là un seul calcul renfermerait tous les cas différents pour chacun desquels il en faudrait un spécial; et ce ne sera que dans le résultat final qu'on aura besoin d'introduire les conditions propres à chaque cas particulier.

Dans tout ce qui précède, nous avons pu remarquer que les changements de signe des termes des formules trigonométriques ou autres, se trouvaient liés à des changements de sens des grandeurs considérées dans l'espace ou dans le temps 5 et ce n'est pas une chose qui doive beaucoup surprendre, parce qu'il résulte souvent de ces changements que des additions se changent en soustractions, et récipro-

68 SCIENCE DE l'étendue.

quement. Nous devons présumer qu'il en pourra être de même pour les formules que nous avons à étudier 5 et, pour le reconnaître quand il y aura lieu, il est utile de faire préalablement un examen détaillé de tous les changements qui s'opèrent dans le sens que les lignes avaient lorsque les angles étaient renfermés dans le premier quadrant, et qu'on leur donne ensuite un accroissement continu illimité. C'est à cet examen que nous allons procéder.

des gha:ngements de direction que subissent les lignes trigonométhiques quand l'angle varie indéfiniment

dans le MEME SENS.

40. Des sinus. — Les arcs partant de l'origine A, et croissant dans le sens ABA', les sinus sont d'abord situés du même côté de AA' que le point B, et ils conti-nuent à l'être jusqu'à ce que l'angle variable MOA, ou l'arc qui le mesure et que nous désignerons para:, soit devenu égal à ir. Le sens du sinus est inverse quand x est entre tt et 2 7r 5 il revient dans le sens direct quand x est entre 2 7r et 37r, et ainsi de suite indéiîniment.

En général, si l'on désigne par a un angle quelconque compris entre o et deux droits , ou un arc entre o et tt, et par n un nombre entier, la formule des arcs ayant leurs sinus dans le sens direct, sera

xz=. imv -+- a, et elle sera, pour le sens inverse,

x = (2.n -h i) iT -\- a,

41. Nous avons déjà reconnu que deux arcs suppléments l'un de l'autre, c'est-à-dire dont la somme est tt, ont le sinus égal et de même sens. Mais on peut dire plus généralement qu'il en est ainsi pour deux arcs quelconques dont la somme est ( azi -}- i) tt. En effet, si on désigne par a l'un des deux, qui peut avoir une valeur aussi grande qu'on voudra , l'autre aura pour valeur [^n -\- i) n — a. Or, en