CHAPITRE III

portant d'abord (2 n 4- 1) tt à partir de A, on tombera sur A', et pour retrancher a il faudra le porter, à partir de A', dans le sens A'BA, qui est l'inverse de celui dans lequel on a porté le premier arc a à partir de A. Les extrémités de ces deux arcs égaux seront donc sur une même parallèle au diamètre A A', et par conséquent les sinus des deux arcs proposés sont égaux et de même sens. Si la somme était inn au lieu de {^^n 4- i) tt, les deux extrémités seraient sur une perpendiculaire à AA' 5 les sinus seraient égaux et de sens contraire, et les cosinus seraient égaux et de même sens.

42. Réciproquement, si les sinus de deux arcs sont égaux et de même sens, c'est-à-dire si leurs extrémités M, M' sont sur une parallèle à A A', la somme de ces arcs est un multiple impair de tt. En effet, si l'on désigne par a l'arc qu'il faut parcourir à partir de A pour parvenir à celui des deux points M, M' qui en est le plus voisin, l'extrémité de cet arc sera évidemment dans le premier ou dans le troisième quadrant; l'arc x terminé en ce point M sera compris dans la formule 2n7r-|-a qui renferme tous les arcs possibles terminés en M 5 l'arc x* terminé en M' sera égal à un certain arc terminé en M, plus MM'. Or, MM' sera égal à tt — 2 a si M est dans le premier quadrant, et égal à tt — 2 [a — tt) ou Stt — ia si M est dans le troisième quadrant. Les deux arcs a:, x^ terminés en M et M' ont donc pour expression générale

dans le premier cas, et

x' := Iu't: -f-a-f-SîT — 2fl=r2(/z'-+- l)7r-h7r — û,

d'où l'on voit que la somme des deux arcs est un multiple impair de tt.

43. Deux arcs dont la différence est un multiple impair de TT ont leurs extrémités diamétralement opposées; leurs sinus sont donc égaux et de sens contraire.

70 SCIENCE DE l'étendue.

Il est inutile de dire que si la différence est un multiple pair de tt, les sinus sont égaux el de même sens, puisque alors les extrémités des arcs coïncident.

44. Les tangentes. — Les tangentes commencent par être dans la partie du plan que nous disons au-dessus de AA^, et cela subsiste tant que Textrémité de Tare est dans le premier quadrant; c'est là ce que nous appellerons leur sens direct. Elles deviennent de sens inverse quand l'arc

est entre - et tt; redeviennent directes quand l'arc esl

entre tt et — 5 et inverses entre — et 2 7r. Quand l'arc croît 2 2 ^

indéfiniment, la position de son extrémité dans les quatre quadrants donne lieu périodiquement aux mêmes conséquences.

45. Les sécantes, — En prenant pour le sens direct d'une sécante celui de la droite décrite par un point qui partirait du centre et marcherait vers l'extrémité de l'arc, et pour le sens inverse celui du prolongement opposé de la même droite, on voit que le sens de la sécante est direct

quand l'arc est compris entre o et -? inverse quand l'arc est

entre - et — -^ et direct entre — et 2Tr.

46. Les cosinus. — Nous avons d'abord considéré les cosinus comme les côtés des triangles rectangles qui étaient la projection du rayon mobile sur le rayon fixe, et nous avons immédiatement reconnu qu'il était le sinus du complément de l'arc quand ce dernier était entre o el -• Cet

arc complémentaire a son origine en B, et serait décrit par le mouvement d'un point qui marcherait en sens inverse de celui qui décrirait l'arc ayant son origine en A. Voyons