CHAPITRE III

si ces deux points de vue des cosinus peuvent être continués indéGniment.

Et d'abord y a-t-il lieu de considérer un complément pour

un arc plus grand que - ? Ce ne peut être qu'en appelant complément un arc pris avec le signe — et tel, qu'ajouté au premier suivant la règle des signes des polynômes,

on trouve pour résultat - • Le désir de généraliser a conduit

à envisager ainsi les compléments d'arcs quelconques : ils seront représentés par les arcs compris entre l'origine B et l'extrémité variable des premiers ; et ces arcs , comptés en sens inverse du sens BA, qui était celui des compléments

des arcs moindres que -? seront regardés comme négatifs.

Il est facile maintenant de reconnaître que le sens de ces cosinus, considérés comme les sinus des compléments ayant B pour origine, sera toujours le même que celui de la projection du rayon mobile, et que les deux points de vue reconnus dans le premier quadrant subsistent quelle que soit la grandeur de l'arc; nous croyons inutile d'entrer dans plus de développements à cet égard.

47. Ayant introduit les arcs négatifs pour les compléments des arcs, il était naturel de les introduire pour les arcs eux-mêmes, et on a considéré ceux-ci comme négatifs lorsqu'ils étaient portés à partir de A dans le sens indéfini de A vers B'. Les compléments de ces arcs seront les arcs

positifs plus grands que - partant de B et dirigés dans le

sens BA; comme les arcs positifs partant de A et plus

grands que -? et les arcs négatifs partant de B, étaient coni-

pléments l'un de l'autre.

Nous venons donc d'introduire les quantités négatives

72 SCIENCE DE l'étendue.

isolées dans la considération des arcs, mais pas encore dans celle de toutes les lignes tri gonomé triques. Nous ne le faisons jamais qu'en vue de la généralisation des idées et des formules. Nous avons eu une raison pour les arcs, et une plus forte encore pour les cosinus. La coexistence de ces deux admissions va en nécessiter de nouvelles, et nous arriverons enûn à la généralisation de toutes les formules de la Trigonométrie au moyen des signes de toutes les lignes, attachés invariablement au sens dans lequel elles sont dirigées.

48. Nous avons généralisé la formule fondamentale a* = i* -h c* — 7.bc cosA, en regardant le cosinus comme négatif quand il est dirigé dans un sens contraire à celui qu'il a lorsque l'arc est moindre qu'un quadrant. Nous avons envisagé cette ligne sous deux points de vue, et nous avons reconnu qu'il y a identité en grandeur et en direction entre la projection du rayon qui engendre les angles, et le sinus du complément positif ou négatif de ces angles, ce qui a conduit, en ne considérant que les grandeurs absolues, à l'équation

^ = sin ( x\

ces ^ = sm i X \y ou ces l x \ = sma:;

TT

mais, si on veut qu'elle soit générale, tant pour la grandeur que pour le signe des membres, il faudra considérer les sinus comme susceptibles de signes ainsi que les cosinus, les regarder comme de purs nombres quand les angles sont plus petits qu'un droit , et comme négatifs quand ils sont de sens opposé à celui qu'ils ont dans ce premier cas. A cette condition seulement, la formule précédente sera générale, et nous l'acceptons.

49. Examinons maintenant toutes les équations trouvées entre les lignes trigonomélrîques d'un même angle, et remarquons d'abord que si deux arcs sont égaux et de