CHAPITRE III. y
sinus de chacun de ces arcs. Elles n'étaient pas inconnues des anciens géomètres^ au moins dans les limites des applications usuelles. Mais les progrès de la science du calcul ont conduit à considérer des arcs en dehors de ces limites, et on a dû chercher à étendre les formules à des angles de grandeur et de signe quelconque. La manière dont on a procédé d'abord consistait à les démontrer quand les angles étaient tous plus petits qu'un angle droit, et à chercher comment elles se modifient quand on étend successivement ces limites. Mais nous allons considérer immédiatement la question au point de vue le plus général , au moyen du théorème démontré précédemment sur la projection des polygones fermés 5 et l'on verra qu'une seule formule peut renfermer tous les cas particuliers, à la condition que les lignes trigonomé triques qui y entreront, seront encore considérées comme de purs nombres quand elles seront dans le sens direct, et comme des nombres négatifs quand elles seront dans le sens inverse : ces nombres négatifs étant traités suivant les règles des signes démontrées dans le cas des polynômes.
53. Formule du cosinus de la somme de deux arcs de sens direct.
Soient a et b (fig. i3) deux arcs de grandeurs quelconques, M r-extrémité du premier qui a été porté à partir
Fig. i3
de A dans le sens AB, et peut renfermer un nombre quel-
j6 SCIENCE DE L^ÉTBMDDE.
couque de circonférences en outre de la partie AM que présente la figure.
Supposons maintenant qu'à partir du point M comme origine, on porte dans le même sens sur la circonférence l'arc b qui peut renfermer aussi un nombre quelconque de circonférences et se terminera par exemple en N ; l'arc ainsi obtenu sera a -h i. Si l'on joint NO et qu'on abaisse NP perpendiculaire sur le diamètre MM' qui passe par l'origine M de Tare i, NP et OP seront sint et cosi.
Cela posé, appliquons au triangle PON le théorème relatif à la projection des polygones fermés et prenons OA pour la direction fixe par rapport à laquelle on considère les directions des côtés, dans le sens où ils sont parcourus. On doit se rappeler que les côtés du polygone que Ton projette doivent être pris dans leur valeur absolue, et que chacun d'eux doit être multiplié par le cosinus de l'angle formé par la direction suivant laquelle il est parcouru, avec la direction fixe. Cet angle est toujours compris entre o et deux droits , et son cosinus doit être considéré comme positif quand l'angle est aigu, et n^atif quand il est obtus. Considérant donc le périmètre du triangle comme parcouru
dans le sens OPNO, et désignant en général par XY,ZU l'angle formé par la ligne dirigée de X vers Y avec celle qui est dirigée de Z vers U, on aura
OP cosOP,OA -h PN cosPNjOA -h NO cosNO,AO = o.
Or, si OP est dans le sens direct, il est le cosinus de l'arc o ayant M pour origine et terminé en N, c'est-à-dire cosi ^
et l'angle OP,OA ou OM,OA est celui qui a été désigné par a, diminué peut-être d'un nombre entier de circonférences, ce qui ne change pas les lignes trigonométriques. Le premier terme de l'équation précédente est donc cosa cos£. Mais si OP est en sens inverse, l'angle formé par sa
