CHAPITRE III. rjrj

direction avec OA est égal à celui que nous venons de considérer, augmenté de tt -, et d'après la manière dont nous avons entendu les cosinus dans les généralisations précé» dentés, le premier terme serait — OPcosa. Mais il sera exprimé par cosa cosè si l'on entend encore que cosè, qui correspond à une direction inverse, est négatif implicitement.

Maintenant l'angle de PN avec OA est égal à celui de

OM avec OA^ augmenté de - si PN est de sens direct 5 il a

donc pour valeur « -h -; et cette valeur devra être aug-

mentée ou diminuée de tt si PN est de sens inverse. Dans le premier cas, le second terme de l'équation sera

PN cos(« 4-- ) 5 et dans le second, PN cos(« H-~zii7r ) ou — PN cos ( « -4- - j • Dans le premier, PN est sine, et le

terme est sin h cos ( a H — j •, et comme dans le second le

sinus est dans le sens inverse, l'expression du terme serait la même si on regardait ce sinus comme négatif et égal à — PN. Donc, dans tous les cas, le second terme de l'équation aura

pour expression sin h cos ( a -4- - ) ou — sin h cos f a

ou enfin — sin a sin £. Quant au dernier terme, le facteur NO

est l'unité, et l'angle NO,OA a un cosinus égal et de sens

inverse à celui de l'angle ON,OA. Mais on est arrivé au point N en partant de A, et portant dans le sens direct l'arc a qui conduit en M, puis portant à partir de M l'arc è, en continuant de marcher dans le même sens 5 le point N est donc l'extrémité de l'arc a -h i •, et en retranchant les circonférences qui peuvent être dans cet arc, ce qui ne change

pas les lignes trigonométriques , on voit que cosON,OA

j8 SCIENCE DE l'ÉTEKDUE.

est cos(a-l-i). Si donc on regarde encore deux angles suppléments comme ayant des cosinus égaux et de signes contraires, le troisième terme de Téquation sera exprimé par — cos (a -h i) ; et cette équation donnera

(i) cos(û -f- ^) = cosflcos^ — sinasin^.

Cette formule est donc démontrée générale quelles que soient les valeurs des arcs de sens direct, û, i, a -+- bj pourvu que l'on entende que les lignes trigonométriques qui y entrent seront considérées comme de purs nombres quand elles sont en sens direct, et comme des nombres affectés du signe — quand elles sont en sens inverse : et à la condition que ces quantités négatives isolées seront traitées suivant les règles des signes démontrées pour les termes des polynômes.