LA RÉSOLUTION DES TRIANGLES

63. Les calculs n^étant substitués aux constructions que pour diminuer les erreurs, les nombres qui entrent dans les équations sont presque toujours exprimés par un grand nombre de chiffres décimaux, et les opérations seraient très-pénibles au delà de l'addition et de la soustraction, si on ne les facilitait pas par Femploi des logarithmes. Et cela est si nécessaire, que les Tables ordinaires ne renferment pas les valeurs mêmes des lignes trigonométriques, mais seulement leurs logarithmes, parce qu'on suppose toujours qu'on aura préparé les formules de telle sorte, que les inconnues soient exprimées chacune par un monôme indiquant des multiplications, divisions, élévations à des puissances entières ou fractionnaires de. quanti tés dont on peut facilement connaître les logarithmes.

Il y a diverses manières générales de réduire à un seul deux termes dont les facteurs ont des logarithmes connus.

Soient À et B ces deux termes, auxquels nous ne supposerons d'abord aucune forme particulière ; l'expression à réduire sera

A±B ou A(i=t5

Or, les relations entre les lignes trigonométriques per-

mettent de transformer facilement i it — en un monôme.

Considérons d'abord le signe supérieur, et posons

^=:tang'(p,

ce qui est toujours possible*, l'angl^f se déterminera im-

86 SCIENCE DE l'étendue.

médiatement, puisqu'on aura

tangç = y/-,

et par suite

logtangç = ; (logB — logA).

Le second membre peut être formée puisque l'on peut calculer les logarithmes de A et B au moyen de ceux de leurs fatteurs, et connaissant ainsi logtangç, la Table donnera Tangle 9 et les logarithmes de toutes ses ligues trigonomë triques.

MaisTexpressionA-l-B sera transformée en A (i -h tang' 9)

ou Asëc*cp, où enfin en — — » dont on pourra facilement

calculer le logarithme, et par suite la valeur, si c'est une longueur, ou Pangle correspondant, si c'est une ligne trigonométrique.

On aurait encore pu poser -=cosy, et A-hB serait

devenu A(i-l-cos(p) =:2Acos*~.

Si Ton avait eu le signe inférieur, la différence A — B, qu'on peut toujours supposer positive, deviendrait Asin'cp

en posant — = cos'(}), ce qui est toujours possible, puisque — est plus petit que l'unité.

Ai

64. Un cas qui se présente souvent est celui où A et B renferment parmi leurs facteurs, l'un le sinus, l'autre le cosinus d*un même arc a, c'est-à-dire où l'on a

Azh:B=: MsÎDfldb Ncos/z*

En mettant M en facteur commun, l'expression deviendra

M ( sinflf dz---cosû j •