CHAPITRE III

Développant les sinus , on aura dans tous les termes sinx ou cosx, et, divisant par cos x, on trouvera pour tango: la valeur suivante :

m {c — d) sinAsinB — /ififsinBsin (» — B)

tancT ûc z^m ». •

^ /zfifsinAcos (&> — B) — m(c — €/)sinBcosA

et il n\ aurait aucune difficulté à construire cette expression, puisque les sinus et cosinus d'angles connus peuvent être remplacés par des rapports de lignes connues.

75. Étant donnés les longueurs des trois arêtes d^un parallélépipède et les angles qu! elles forment entre elles en un de ses sommets ^ calculer la diagonale partant de ce points et le volume du parallélépipède.

Soit le parallélépipède ABCDEFGH [fig. i5), posons

AB = «, AD = ^, AE=:c, AG = û?.

Fig. i5.

fAm

1° Cherchons d'abord l'expression de rf, et pour cela projetons le polygone ABCGA sur la direction AG, nous

aurons

âCosBAG -f- h cosDAG + ccosEAG = d.

Mais

fl=» -+- ^ — Bg' à'-^d^ — AH

cosBAG = et de même

^.ad

T.ad

cos D AG = —, » cos EAG =

'i.bd

icd

98 SCIENCE DE L^ÉTENDUE

Substituant, îl vient

a' + ^ ~ Bg' ^' + rf' — ÂÎÊ' cî -}- rf» — Âc*

d'où

d} = Tc +^' 4-ÂiH*— ««— 6» — c».

faisant les substitutions, on obtient

d^ =1 a^ -\- b^ -\- c^ -i- 2ab cosab -\- naccosac ■+- ^bccosTc.

La diagonale du parallélépipède se trouverait ainsi exprimée au moyen des trois arêtes et des diagonales des trois faces partant d'une extrémité delà première 5 mais ces diagonales n'étant pas des données de la question proposée,

il faut les exprimer au moyen des angles ab\, ac^ bc des arêtes partant du même sommet. Or on a

AC z=i à^ -\- b^ -\- aab cosâb,

AF r=: û^ -h c^ 4- laccosacj

AH = ^^ H- c' + 2 fcc ces bc.

Faisant les substitutions^ on obtient

rf' = a' -f- ^2 | ^ l« ^abcosab -h 2.accosac -f- ^bccosbc,

2** Cherchons maintenant le volume du parallélépipède, et pour cela abaissons El perpendiculaire sur le plan de la

base ab dont la surface est absinab'^ le volume cherché

aura pour mesure EI.a& sina& ou abc sinaft sinEAI.

Nous sommes donc ramenés à calculer le sinus deTangle qu'une arête d'un angle trièdre forme avec le plan de la face opposée. Désignons respectivement par a, 6, y les angles bc^ acy ab.

L'angle trièdre AEIB correspond à un triangle sphérique rectangle qui donnera

siiiEAI

-~7~=^ = sinEAB ou sin EAI = sin AB sin ^, smAB