Expression générale de la distance de deux points

Nous avons donné cette formule dans le cas où les points sont rapportés à deux axes rectangulaires; nous allons d'abord Tétendre au cas où les axes sont obliques.

lOO SCIENCE DE l' ÉTENDUE.

Si par les deux points M, M' [fig. 16) on mène des parallèles aux axes, leur distance est un côté d'un triangle M' MI, dont les deux autres sont les différences ou les

sommes des coordonnées des deux points; et Tangle opposé est égal à Tangle 6 des axes ou à son supplément. Le carré du côté MM' a pour valeur

MJVr =MI -+-M'I — 2MI.M'IcosM'IM.

Reste à exprimer généralement, si cela est possible, les trois termes du second membre.

Nous ne reproduirons pas la discussion que nous avons faite dans le cas des axes rectangulaires, et qui montre que la somme des carrés des deux côtés MI, M'I est représentée dans tous les cas par [x — ^')'4-{/ — j')^-» ^^ entendant que les a: et j^ sont regardés comme de simples nombres quand les coordonnées qu'elles représentent sont situées d'un côté déterminé de l'origine, et comme des nombres négatifs quand elles sont en sens contraire. II ne reste donc à considérer que le troisième terme.

Supposons d'abord que les directions M'I, IM soient celles des axes positifs, c'est-à-dire que x — x' elj — y soient positifs, en entendant comme nous l'avons fait les signes de x^j^ x'^j'\ l'angle I sera supplément de 0, et le troisième terme^ — aMI.M'IcosI, aura pour expression

-{- i{x — J^^ ){y — 7')cos0.

Si maintenant un seul des deux côtés MI, M'I change