DE LA CONSTRUCTION DES TABLES TRIGONOMÉTRTQUES

78, Les premières Tables sont dues aux astronomes de l'antiquité; elles ont été calculées par des procédés longs et pénibles; mais comme elles étaient indispensables pour la résolution des triangles, il a fallu les construire à tout prix. Les progrès de la science ont fait connaître des moyens plus prompts et plus sûrs, dont on s'est servi soit pour vérifier des Tables déjà faites, soit pour en former de plus exactes. Nous nous bornerons ici à indiquer les moyens les plus élémentaires qu'on peut employer à cet effet. Nous pourrons parler plus tard de procédés plus parfaits. L'emploi d'une Table présente d'autant plus d'exactitude que ses termes croissent par intervalles plus petits : nous supposerons, comme cela a lieu dans celles qui sont le plus en usage, que les arcs croissent par intervalles de lo secondes sexagésimales. La première idée qui se présente est de calculer avec une très-grande approximation le sinus et le cosinus de lo secondes et d'en déduire, par les formules connues du sinus et du cosinus d'une somme, ceux de tous les arcs suivants qui peuvent chacun être considérés comme la somme du précédent et de lo secondes.

Pour calculer sinio", on remarquera que quand un arc tend vers zéro, son rapport à son sinus tend vers l'unité, et par conséquent la différence de l'un à l'autre est relati-. vement très-petite. On reconnaît même très-simplement qu'en prenant toujours le rayon pour unité, la différence du sinus à l'arc est moindre que le quart du cube de cet

CHAPITHE III. Io3

arc. Il est donc très-facile d'avoîr une limite de l'erreur commise en prenant pour valeur de sinio" celle de Tare même de lo secondes, qu'on peut facilement calculer puisque la demi- circonférence tt est connue avec une approximation dont on peut à peine se faire une idée, et dont nous aurons bientôt l'occasion de parler.

On trouvera ainsi par défaut, à moins d'une unité du dernier ordre,

lo'' = o , 000048481 368 1 1 095359935

et — 7 — est égal par excès, à moins d'une unité du dernier

ordre, à

et comme on a

sm 10" > 10" — —r^'i

retranchant de 10 secondes la quantité précédente, supé-

rieure à ^ . 1 on aura un reste à fortion -pXxus petit que

sinio^'. On aura donc

sin I o" >- o , 00004848 1 36808,

et d'ailleurs

sin I o'^ <^ o , 00004848 1 368 1 1 ,

de sorte que l'on a par défaut, à moins d'une unité du treizième ordre décimal,

sin I o'' = o , 00004848 1 368o.

On déduira facilement de là la valeur de cosio'' par excès et p<Qr défaut*, et on en conclura sin 7,0" et cos 10",

Pour aller au delà on fera usage de la loi simple qui existe entre les sinus et les cosinus d'arcs en progression

I04 SCIENCE DE l'ÉTENDUE.

par différence. Pour la découvrir, soient

trois arcs quelconques consécutifs d'une progression dont la différence est a.

On aura

sin(a: H- «) -f- siû [x — «) = 2sin j7Cos«, cos(âr -f- a) H- ces [x — a) = cosar cosa^

d'où

sm{x-^ a) =^smx (ncosa) — sin (ar — û),

C0S(j:+ a) •=: C0S:r(2C0Sa) — C0s(x — a).

Ainsi, dans la série des sinus, comme dans celle des cosinus, d'arcs en progression dont la différence est a, un terme quelconque se forme des deux précédents, en multipliant le dernier par 2 cosa, l'avant-dernier par — i , et réunissant les deux produits. Or, le facteur 2 cosa se représentant toujours, si on le multiplie par les neuf chiffres significatifs, on n'aura à opérer que des additions de ces produits partiels et les soustractions de quantités connues, ce qui réduira le calcul autant que possible.

79. Comme il est toujours possible de déterminer, pour les nombres que l'on calculera ainsi, des valeurs trop pe* tites et des valeurs trop grandes, on connaîtra pour chacun une limite de l'erreur, ce qui est indispensable dans tous les calculs d'approximation. Si on trouvait que cette limite est devenue trop forte, il faudrait partir d'un arc plus petit que 10 secondes, car les erreurs se trouveraient relativement plus petites.

Mais on peut faire quelque chose de plus précis encore 5 car une limite de l'erreur ne donne pas toujours une connaissance assez précise de l'erreur même. On peut calculer avec autant d'approximation qu'on voudra les sinus et co-