CHAPITRE PREMIER. l

Si, par exemple, on avait on aurait, en extrayant la racine n**'"'',

qui sera une équation homogène de degré — •

Remarque. — Il est bon de remarquer qu'un polynôme dont tous les termes sont de mè;ne degré peut toujours être transformé en un monôme de même degré. Car si Ton met en facteur commun un monôme d'un degré moindre d'une unité, le polynôme sera le produit de ce facteur par un polynôme dont tous les termes seront du premier degré et représenteront des lignes qui pourront se construire par des quatrièmes proportionnelles. En faisant leur somme, et la représentant par une lettre, le polynôme se trouvera transformé en un monôme du même degré. Ainsi, par exemple, a" -f- £"* — c*" pourra se mettre sous la forme

b^ On construira -^^ en le considérant comme décomposé en

. , (jn construira la troisième proportionnelle

— •, l'appelant i'jon construira la quatrième proportionnelle

— 5 1 appelant o'\ on construira — ? et ainsi de suite 5 on

b"* arrivera de cette manière à une ligne représentée par — ^ -

On construira de même ? et on la retranchera de la

précédente ajoutée à a. Représentant cette somme par 5, a"* X i'" — c"* sera remplacé par a"*~* 5, et si l'on avait eu

l6 SCIENCE D]S L^ ÉTENDUE.

^ô'"-|- è"* — c'" cette racine serait remplacée par le monôme

de même degré ^a"*"^ s ou a " ^^

4. Démonstration générale du principe. — Considérons une équation déduite de conditions géométriques, et renfermant un nombre quelconque de lignes, connues ou inconnues, exprimées en nombre au moyen d'une unité non spécifiée. Supposons d'abord que tous les dénominateurs étant chassés, Téquation neisoit composée que de monômes de degrés quelconques positifs ou négatifs, entiers ou fractionnaires. Réunissons en groupes tous les termes de même degré: l'équation pourra se mettre sous la forme suivante, dans laquelle l'indice donné à la lettre A marque le degré du groupe :

Aa, -h A„ -h A^ 4- . . . 4- A5 = o.

Les facteurs linéaires a, &, c,. . ., k^ /qui entrent dans divers groupes varieraient avec l'unité de longueur, et en raison inverse de la grandeur de cette unité *, mais s'ils sont ainsi changés en a', b\ c', . . . , k\ /', l'équation renfermera ces nouveaux facteurs absolument de la même manière qu'elle renfermait a, i, c, . . ., A, /, puisqu'elle a été obtenue indépendamment de la grandeur de l'unité.

Cela posé, prenons pour cette nouvelle unité la grandeur de la première divisée par un nombre arbitraire z : les nombres désignés par a', b'^, , .^V seront respectivement égaux à za^ zb^ . . . , zh^ zl. Mais comme la nouvelle équation doit renfermer a', b\, . , ^V de la même manière que la première renfermait a, £,...,/, on l'obtiendra en changeant dans celle-ci a en za^ b en zè, etc., ce qui donnera

z^A^ + z" A„-i-2;^Ap-i--.. +2'A, = o, et comme cette équation devra avoir lieu quel que soit s,