CHAPITRE PREMIER
de tous les points d'où Ton verrait sous un angle donné une droite donnée de grandeur et de position.
Soient B et C (fig* 20) les extrémités de la droite donnée, d sa longueur, et m la tangente trigonométrique de Tangle
Fig. 20.
donné. Rapportons les points à deux axes rectangulaires AX, AY dont le premier soit parallèle à BC : désignons par a et ft les coordonnées AD, DB du point B, par x elj celles d'un point quelconque M du lieu 5 celles de C seront a-h ^ et ft.
Cela posé, si on abaisse de M la perpendiculaire MP sur BC, et que le point P tombe entre B et C, Tangle M sera la somme de deux autres ayant respectivement pour tan-
gentes
et
mule générale de la tangente de la somme,
• On aura donc, d'après la for-
(x-by
(y — by-\-[x'-- aY—d[x — a)
Si le point P tombe en dehors de BC, par exemple en P', l'angle BM'C sera la différence de deux angles dont les tan-
gentes seront
n .rr
et —
' Cette dernière a la
même forme au signe près que dans le premier cas^ mais comme elle doit être employée inversement, le résultat en x^ y y sera le même que le premier en a:, j. Tous les points du lieu qui sont au-dessus de BC satisferont donc à l'équation (i), qui devient, après réduction,
y^ 4- x} — iy ( h -f-
ou
équation qui est celle d'un, cercle dont le centre a pour
coordonnées a -\ — et h -\ ? et dont le carré du rayon
est -7- ( I H -A' Les constructions qui en résultent sont
si simples, que nous ne nous y arrêterons pas. Mais ce qu'il est important de remarquer, c'est que le lieu représenté par l'équation (a) est un cercle entier, tandis qu'il n'y a que Tare au-dessus de BC qui convienne aux conditions géométriques. Car de tous les points de l'arc inférieur la ligne BC sera vue sous un angle supplément de celui qui est donné. Ces points constituent donc des solutions étrangères au problème de géométrie proposé -, et cependant le calcul les introduit sans qu'il soit possible de l'éviter. Tout ce que l'on peut faire, c'est de reconnaître à quoi tient qu'il les introduise.
87. Mais commençons par achever la mise en équation du problème proposé en considérant les points situés audessous de BC, et, pour éviter toute difficulté, prenons h assez grand pour que tous ces points soient au-dessus de l'axe des x.
