CHAPITRE PREMIER
Soit N un quelconque de ces points; Tangle BNC, qui doit encore avoir pour tangente m, se décomposera en deux autres, qui auront respectivement pour tangentes
expressions identiques aux premières, au signe près. Et comme elles doivent être traitées de la même manière, Téquation à laquelle on sera conduit diflerera de (i) par le signe du second membre, ou, ce qui est la même chose^ par le signe du premier, c'est-à-dire de m.
Il y a deux conséquences à tirer de là :
La première est que, si pour les points situés en-dessous de BC on demandait que Tangle donné eût pour tangente — m au lieu de m, c'est-à-dire que BC fût vu sous Tangle supplémentaire^ Téqualion à laquelle on parviendrait serait précisément (i). Cela montre que celte dernière doit représenter un lieu tel, que pour les points au-dessus deBC, celte ligne est vue sous l'angle donné, et pour les points au-dessous, sous l'angle supplémentaire. L'introduction forcée de ces solutions étrangères est donc expliquée.
La seconde conséquence est que, 'pour avoir la représentation complète du lieu géométrique, il faudrait deux équations, l'une, l'équation (2), pour les points au-dessus de BC , et l'autre pour les points au-dessous, qui en différerait simplement par le signe de /n, et donnerait semblablement des solutions étrangères dans sa partie supérieure.
On pourrait bien sans doute former une équation unique qui équivaudrait aux deux; il suffirait de multiplier les premiers membres l'un par l'autre, les seconds étant réduits à zéro*, mais ce serait compliquer au lieu de simplifier : et toutes les fois au contraire qu'une équation peut se décomposer en deux autres, on effectue la séparation.
88. Remarque, — Dans cet exemple, on voît qu'on aurait perdu des solutions si l'on s'était borné à prendre un point au hasard, croyant qu'il peut les représenter tous parce qu'on ne l'a pas expressément particularisé. Mais il ne suffit pas qu'on n'ait rien énoncé de particulier sur lui, pour qu'il puisse les représenter tous dans la suite du calcul, parce que les expressions qui se déduisent de la figure qui s'y rapporte peuvent ne pas rester les mêmes pour toutes les dispositions des points. Nous insistons sur cette considération, parce qu'on s'expose à des difficultés quand on n'y a pas égard, et que les commençants sont trop disposés à croire qu'ils sont dans une généralité complète lorsqu'ils ne particularisent rien par le langage, tandis qu'ils le sont par leurs calculs et leurs raisonnements. Il est vrai que quand les difficultés se présentent, on peut les lever en remontant à leur origine 5 mais il vaut mieux les prévoir et les éviter. Et d'ailleurs on n'a pas toujours l'occasion de réparer une discussion incomplète; et si l'on a perdu des solutions sans s'en apercevoir, il est très-possible que rien n'en avertira dans les résultats du calcul.
