CHAPITRE PREMIER

velle équation, et en tenir compte dans la solution finale. C'est ce que nous allons éclaircir par quelques exemples.

90. Équation du lieu des points tels, que la somme de leurs distances à deux points fixes soit constante.

En employant la formule générale de la distance de deux points, nous n^aurons aucune discussion à faire sur les diverses positions que peuvent avoir ceux que nous aurons à considérer; mais il faudra bien se rappeler que pour la généralité de cette formule les coordonnées doivent être considérées comme changeant de signe quand elles changent de direction. Nous nous contenterons de rappeler ce que nous avons établi précédemment à ce sujet.

Soient F, F' {fig> 21 ) les deux points, ic leur distance, et 2. a la somme constante; prenons pour axe des x la

droite FF', pour axe des y la perpendiculaire à FF' élevée en son milieu A, et désignons par x, j les coordonnées d'un point quelconque M du lieu. La condition à laquelle il est assujetti sera exprimée par Téquation

FM-f-F'M=:2fl,

ou

(1) Vj' -\- (.r — cy 4- v^j' -h (.^" -H cf = la,

les coordonnées x^y pouvant avoir des signes quelconques suivant la position de M, et les abscisses de F et F' étant

-h c et — c, comme l'exige l'emploi de la formule de la distance de deux points. L'équation (i) est bien celle du lieu, mais sous une forme qu'il n'est pas bon de conserver. On cherche toujours à rendre rationnelles les équations des courbes, à moins qu'elles ne se trouvent résolues par rapport à l'une des coordonnées, ce qui est la forme que l'on cherche particulièrement à trouver.

Pour faire disparaître les radicaux de (i), nous isolerons le premier dans un membre, et nous élèverons au carré 5 nous obtiendrons ainsi, toute réduction faite,

a' -f- cj: = a sj y"^ -f- (.r -4- c*)';

élevant encore au carré et réduisant, on trouve enfin pour équation du lieu

et cette équation serait la même de quelques signes qu'on affeclât les deux radicaux dans l'équalion (i).

Examinons maintenant à quelles diverses questions géométriques correspondraient ces diverses combinaisons de signes.

Il faut d'abord évidemment exclure celle des deux signes — , mais il en reste trois : la première sera celle des deux signes -h, et correspond à la question proposée 5 les deux autres correspondent à la différence des deux distances, quelle que soit celle des deux qui soit la plus grande.

Est-ce une raison d'affirmer que l'équation (2) représente deux lieux géométriques : l'un tel, que la somme des distances de chacun de ses points à F et F' soit 2a; l'autre tel, que la diiTérence de ces distances soit 2a?

Cela serait certainement si les conditions de ces deux lieux pouvaient exister en même temps; mais il se trouve