CHAPITRE PREMIER

qu'elles sont imcompalibles, et alors Téquation (2) n'en représente qu'un seul, celui qui est possible d'après les valeurs des données a et c.

Et en effet dans le triangle MFF'on a MF -4- MF' > FF'. Donc pour que MF 4- MF' soit égal à 2 a, il faut que l'on ait 2 a^ FF' ou 2 a ^ 2c, ou a ^c, et le problème serait impossible si l'on avait a < c

Mais si l'on veut que la différence de MF, MF' soit 2a, il faudra au contraire 2 a <^ 2 c, puisque dans tout triangle la différence de deux côtés est plus petite que le troisième.

C'est donc la valeur relative des données a et c qui déterminera celui des deux problèmes de géométrie que résout l'équation (2).

1° Si û ^ c, on aura, en posant a* — c* = i*,

pour équation du lieu des points tels, que la somme de leurs distances aux deux points F, F' soit 2 a, C'est la courbe qu'on nomme ellipse, et les deux points fixes se nomment les foyers : nous la retrouverons plus tard dans la discussion de l'équation générale du second degré.

2** Si û <^ c, on aura, en posant c' — «' = A',

pour équation du lieu des points tels, que la différence de leurs distances à F et F' soit 2 a. C'est la courbe qu'on nomme hyperbole ; les deux points fixes en sont les foyers. Nous ne nous occuperons pas ici de reconnaître la forme de ces courbes. Cette discussion particulière n^aurait pas rapport à notre objet actuel, qui est d'étudier l'introduction de solutions que l'énoncé géométrique ne comportait pas.

91 . Équation du lieu des points tels, que la somme de leurs distances à un point et une droite fixes soit constante.

Soient F et UV {fig. 22) le point et la droite donnés. Prenons pour axe des x la perpendiculaire FX abaissée

Fig. 21.

de F sur UV5 et pour axe des y, la perpendiculaire AY, menée par un point A assez éloigné de F pour que tous les points que Ton aura à considérer soient du même côté de cet axe.

Soient x^ y^ les coordonnées* d'un point quelconque M du lieu situé entre UV et AY-, m la somme donnée, FB = a, AF = ft : la condition de la question est exprimée par l'équation FM -j- MP = m ou

(i) Vr^-+- [x — hy-\- a -V-b — xz=Lmy

et l'on voit que l'on doit avoir m^ a^ puisqu'on a évidemment FM -h MP > FB.

L'équation rationnelle en x à laquelle nous parviendrons renfermera non-seulement les points correspondants au signe -|- du radical, c'est-à-dire le lieu demandé, mais encore ceux qui correspondent au signe — , s'il est possible qu'il y en ait : ce qu'il est bon d'examiner dès à présent.

Or, quelque part que soit pris le point M, à gauche de UV, on aura toujours MP — FM<;FB<;m. Donc pour aucun de ces points l'équation (i), dans laquelle le radical aurait le signe — , ne serait possible. Ainsi, en rendant rationnelle l'équation (i), elle ne renfermera pas d'autres