CHAPITRE PREMIER. I2g

solutions que celles que Ton demande, au moins dans tonte la partie du plan à gauche de UV.

En isolant le radical dans Téquation (i) et élevant au carré, on obtient, après réduction,

(2) y^ — *i.[m — a)xz=z[tn — af — 11b (m — a);

c'est la courbe qu'on nomme parabole, et qui est un nouveau cas particulier de Téquation générale du second degré.

92. Mais nous n'avons pas encore étudié complètement la question, puisque nous n'avons considéré que les points à gauche de UV, et pour lesquels a -f- ft — x est posilif. Pour les points à droite, on a a:>rt-h i, et le premier membre de (1) devient la différence FM' — M'P'. L'équation (i), prise dans toute son étendue", renferme donc, outre la position de courbe qui satisfait à la question posée, un autre lieu satisfaisant à une condition géométrique différente, et qui, par conséquent, doit être considérée comme étrangère, sans qu'on puisse empêcher qu'elle ne soit comprise dans l'équation.

Il ne reste plus qu'à chercher à droite de UV les points qui pourraient convenir à la question, et dont aucun n'est donné, comme nous venons de le voir, par l'équation (i) ou (a).

Soient x, y les coordonnées d'un point N tel que FN -f- NQ = w, il en résultera

(3) y/J^'^Ji^^bf -]-x—a—^b=:m qui devient

(4) r ' H- 2 (/» 4- a) j: = (m -\- /j)^ -\- ib(m -\- a).

n est facile de voir que l'équation (3), qui satisfait à la condition géométrique donnée quand on a a:]> AB, n'y satisfait pas quand on prend x <] AB, puisque son premier membre devient la différeuce FM — MP. L'équation (3)

l3o ÉTUDE DES COURBER.

OU (4)> qui lui est équivalente, comme (2) Tétait à (i), représente donc dans son ensemble un lieu dont la partie à droite de UY satisfait à la question, tandis que la partie à gauche n^y satisfait pas.

Le problème proposé ne peut donc être complètement résolu que par deux équations, et chacune des deux représente un lieu dont une partie convient, tandis que Tautre ne convient pas, et ne peut cependant en être détachée.

93. Exemple de solutions étrangères en nombre fini, — Les questions précédentes ont montré comment le calcul peut introduire des portions de lieux qui ne conviennent pas à la question proposée, mais conviennent à une question voisine; de sorte que Téquation trouvée représenterait la solution d'une question plus étendue que celle qui a été posée, et qu'on avait certainement le droit de poser. Mais il peut arriver aussi qu'il s'introduise des solutions représentant des points isolés qu'il est impossible de faire disparaître, et qui ne se rapportent même à aucune modi * fication des conditions données. Nous en trouverons un exemple dans le problème suivant y

Trousser V équation du lieu des points obtenus en me^ nant d^un point fixe des droites jusquà leurs rencontres avec une droite donnée, et les prolongeant d^ une quantité constante.

Soient A {fig* ^3) le point donné, UV ]a droite donnée,

Fig. 23.

a leur distance AB, et m la quantité dont on prolonge un rayon quelconque AN pour avoir un point M du lieu.

CHA.P1T11E PBEMIER. l3l

Prenons pour axes AX parallèle à UV, et AY perpendiculaire; désignons par a:, y les coordonnées MP, AP de M Les triangles semblables donneront