MA ~ MN

ou d'où

Si maintenant on élève les deux membres au carré pouravoir une équation rationnelle, on introduira les solutions qui se rapporteraient au premier membre changé de signe

et remplacé par (a — y) \[x^ -k-y'^ ^ ce qui correspondrait à la supposition que m est porté en M' en sens contraire de NM. Ce nouveau lieu et le proposé seront représentés par Féquation suivante :

qui pourrait être résolue par rapport à x* et deviendrait

On trouverait la même équation en prenant le point M de l'autre côté de l'axe des j^ de sorte que les valeurs de x pour un même j pourront être portées dans les deux sens. Cette courbe est celle que les anciens ont nommée conchoïde.

Remarque. — Si l'on fait tendre le point N vers B, l'j: du point M ou du point M' tend vers zéro, et les y vers à dz /w, de sorte que si l'on suppose a^m^ les deux points du lieu situés sur la perpendiculaire à AX seront au-dessus de A; et il en est de même de tous les points du lieu.

iSa ÉTUDE DES COURBES.

Cependant l'équation (2) est satisfaite par ;c= o, ^ = o ; cette solution est donc étrangère à la question, et ne peut pas être supprimée.

Si Ton faisait a: = o dans Téquation primitive (i), on ne trouverait pas en évidence la solution j z=z o comme

dans (2)5 mais en faisant^ = o on trouverait - pour Tun

des membres, et Ton ne pourrait dire que l'équation est satisfaite. Nous avons bien dît, dans \diScience des nombres^

qu'une inconnuej^qui se présente sous la forme - peut avoir

toutes les valeurs, parce qu'elle est tirée d'une équation dont les deux membres sont nuls, quel que soit y. Mais c'était supposer que l'équation était donnée avant la division d'où résulte la valeur de/, et il est évident qu'alors on ne devait pas faire cette division, mais reconnaître que j^ était indéterminé. Dans le cas actuel il en est autrement : c'est la division dej^ par ^jx^-^j^ qui précède, et il n'y a pas lieu de faire les mêmes raisonnements; il faut suivre les valeurs de ce quotient, et on voit alors qu'il est égal à i quand x est zéro, ce qui donne

= I ; ou ~ z=z 1 ,

si l'on considère les points M'; les valeurs dey seront ainsi a -+• m et a — m. Mais si l'on part de l'équation (2),

obtenue en chassant le dénominateur y/x' -hj^ et élevant

au carré, on ne trouve plus - quand on fait j^ = o; tous les

termes disparaissent et l'équation est satisfaite; mais non la question.

k En généralisant ce cas particulier, on peut dire que si par la suite des calculs une partie d'une équation se

CnAPITKE PREMIER. l33

Ffx, r) trouve de la forme — — '- — ^ et qu'on multiplie les deux

membres par ^[x^y)^ la nouvelle équation admettra nécessairement comme solutions les valeurs de j: et j^ qui annuleront ^{oc^ j) et F(j:, j). Si ces solutions conviennent à la question, il n'y a aucune solution étrangère introduite par cette multiplication. Mais si, comme dans le cas actuel, elles n'y conviennent pas, le calcul aura introduit ces solutions étrangères, qu'il sera le plus ordinairement impossible de supprimer.

Il faut donc toujours examiner avec soin les circonstances dans lesquelles on multiplie les deux membres par une fonction de x etj^, et surtout celles où l'on supprime un facteur commun. Dans ce dernier cas, on supprime les solutions qu^il donnerait en l'égalant à zéro, et il est important de s'assurer si elles conviennent ou sont étrangères à la question.