Equation polaire du cercle

Soient R le rayon du cercle; a et a les coordonnées polaires de son centre; r et cp les coordonnées polaires d'un point quelconque du cercle. En joignant ce dernier au centre, on aura un triangle dont les trois côtés seront R, «, r, et dont l'angle opposé au côté R sera a — cf,ou^ — a, quels que soient (f et a, même dans le cas où l'on considérerait des valeurs négatives pour f et.a, comme nous l'avons fait dans la Trigonométrie. Dans ce triangle on aura

R* zrr /2 -I- «2 — 2âfrCOS (o — a),

ou

R» = r* -i- fl* — 2âfrcos (a — ^).

Ces deux équations se réduiront à une seule en considé-

rant, comme nous Tavons fait pour la généralisation des formules trigono métriques , que deux arcs égaux et de signes contraires ont le même cosinus. Celte équation unique sera celle du cercle, puisqu'elle aura lieu entre les coordonnées de tous ses points, et deux seulement. Elle sera

r^ — 2arcos (<p — a) H- a* — r^ =z o,

ou, en supposant que Taxe polaire passe par le centre,

r^ — lar C0S(^ -ha' — r^ 1= o,

et comme nous n'avons considéré que la valeur absolue du rayon vecteur, on pourra ne tenir aucun compte des valeurs négatives de r qui satisferaient à cette équation ; ce qui aura lieu quand on aura a <^ R, c'est-à-dire quand le pôle sera dans l'intérieur du cercle.

96. Équation polaire de Vellipse, Soient F, F' [fig- 24) les deux foyers, 2 c leur distance, M un point quelconque du lieu, et 2a la somme de ses dis-

Fig. 34.

tances aux points F, F'. En prenant le point F pour pôle et comptant les angles à partir du prolongement FU de F'F, les coordonnées r et y du point M seront FM et l'angle MFU. Cela posé, le triangle F'MF donnera entre les valeurs absolues de ses côtés t'équation

F'M =r2-f-4c' — 4crcosMFF', et nous savons que cette équation ne sera générale qu'en